Matematicas

Sec. 2.4

Resolver ecuaciones
y desigualdades que incluyan
valores absolutos.

]OBJETIVO

Básicamente, el valor absoluto de un
número real es su valor cuando se
ignora su signo.

■

Valor absoluto

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2.4 VALOR ABSOLUTO
Ecuaciones con valor absoluto
En la recta de los números reales, a la distancia desde el cero hasta un número
x se le llama el valor absoluto de x, el cualse denota por ƒ x ƒ . Por ejemplo,
ƒ 5 ƒ = 5 y ƒ - 5 ƒ = 5, ya que tanto el 5 como el - 5 están a 5 unidades del cero (véase la fig. 2.17). En forma similar, ƒ 0 ƒ = 0. Note que x nunca puede ser
negativo, esto es ƒ x ƒ Ն 0.
5 unidades

5 unidades
0

5

FIGURA 2.17 Valor absoluto.

Si x es positiva o cero, entonces ƒ x ƒ es simplemente x misma, de modo que
podemos omitir las líneasverticales y escribir ƒ x ƒ = x. Por otra parte, considere el valor absoluto de un número negativo, como x= - 5.
ƒ x ƒ = ƒ - 5 ƒ = 5 = -(-5) = - x.
Así, si x es negativa, entonces ƒ x ƒ es el número positivo - x. El signo menos indica que hemos cambiado el signo de x. Así, directamente de su interpretación
geométrica, el valor absoluto puede definirse como sigue.

Definición
El valor absolutode un número real x, escrito ƒ x ƒ , se define como
ƒxƒ = e

x, si x Ն 0,
if
-x, si x 6 0.
if

2x2 no necesariamente es x, pero

Aplicando la definición, tenemos ƒ 3 ƒ = 3, ƒ -8 ƒ = -(-8) y ƒ 1 ƒ = 1 .
2
2
También, - ƒ 2 ƒ = -2 y - ƒ -2 ƒ = -2.
2x2 = ƒ x ƒ .

Por ejemplo, 2(-2)2 = ƒ -2 ƒ = 2 no -2. Esto concuerda con el hecho que
Advertencia

2(- 2)2 = 24 = 2.

También, ƒ -x ƒZ x y
ƒ -x - 1 ƒ Z x + 1.
Por ejemplo, si hacemos x= - 3, entonces ƒ -(-3) ƒ Z -3, y
ƒ -(-3) - 1 ƒ Z -3 + 1.
■

EJEMPLO 1 Resolución de ecuaciones con valor absoluto

a. Resolver ƒ x - 3 ƒ = 2.
Solución: esta ecuación establece que x- 3 es un número que está a 2
unidades del cero. Por tanto,
x - 3 = 2 o x - 3 = -2.
Resolviendo estas ecuaciones se obtiene x= 5 o x= 1.

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Capítulo2

■

Aplicaciones de ecuaciones y desigualdades

b. Resolver ƒ 7 - 3x ƒ = 5.
Solución: esta ecuación es verdadera si 7- 3x= 5 o si 7- 3x= - 5.
Resolviéndolas se obtiene x = 2 o x= 4.
3
c. Resolver ƒ x - 4 ƒ = -3.
Solución: el valor absoluto de un número nunca es negativo, de modo
que el conjunto solución es л.
■

2 unidades 2 unidades

x
1

x
3

Podemos interpretar ƒ a - bƒ o ƒ b - a ƒ como la distancia entre a y b. Por
ejemplo, la distancia entre 5 y 9 es
ƒ 9 - 5 ƒ = ƒ 4 ƒ = 4,

5

FIGURA 2.18 La solución
de Ϳx - 3Ϳ = 2 es 1 o 5.

o

ƒ 5 - 9 ƒ = ƒ -4 ƒ = 4.

En forma análoga, la ecuación ƒ x - 3 ƒ = 2 establece que la distancia entre x y 3 son 2 unidades. Por tanto, x puede ser 1 o 5, como se muestra en el
ejemplo 1(a) y la figura 2.18.Desigualdades con valor absoluto
Ahora estudiaremos las desigualdades que incluyen valores absolutos. Si
ƒ x ƒ 6 3, entonces x está a menos de 3 unidades del cero. Por tanto, x debe estar entre - 3 y 3, esto es, en el intervalo -3 6 x 6 3 [véase la fig. 2.19(a)]. Por
otra parte, si ƒ x ƒ 7 3, entonces x debe estar a más de 3 unidades del cero. Así,
existen dos intervalos en la solución: x 6 -3 o x>3[véase la fig. 2.19(b)].
Podemos extender estas ideas como sigue. Si ƒ x ƒ Յ 3, entonces -3 Յ x Յ 3. Si
ƒ x ƒ Ն 3, entonces x Յ -3 o bien x Ն 3. La tabla 2.1 presenta un resumen de
las soluciones para desigualdades con valor absoluto.
FIGURA 2.19 Solución
de ͿxͿ 6 3 y ͿxͿ 7 3.

TABLA 2.1
Desigualdad (d 7 0)

Solución

ƒx ƒ 6 d

■

-d 6 x 6 d

ƒxƒ Յ d
ƒxƒ 7 d
ƒxƒ Ն d

-d Յ x Յ dx 6 -d o x 7 d
x Յ -d o x Ն d

EJEMPLO 2 Resolución de desigualdades con valor absoluto

a. Resolver ƒ x - 2 ƒ 6 4.
Solución: el número x- 2 debe estar a menos de 4 unidades del cero.
Del análisis anterior, eso significa que -4 6 x - 2 6 4. Podemos establecer el procedimiento para resolver esta desigualdad como sigue:
-4 6 x - 2 6 4,
-4 + 2 6 x 6 4 + 2

–2 < x < 6
–2

6

FIGURA...