Matematicas

DERIVACIÓN DE
LAS FUNCIONES
ELEMENTALES
El procedimiento mediante el cuál se obtiene la derivada de una función se
conoce como derivación.
Llamaremos funciones elementales a las funciones polinómicas, racionales,
irracionales, trigonométricas, exponenciales y logarítmicas.
Nuestro objetivo es encontrar sus derivadas sin emplear límites.
Cualquier otra función se obtiene de éstas mediantesuma, producto, división
y composición.
DERIVADA DE UN COCIENTE DE FUNCIONES
Sean f y g dos funciones derivables. Queremos hallar la derivada de la
función cociente, es decir, de la función
F(x) =
f(x)
g(x)
Se sobreentiende que x toma sólo los valores para los que f(x) y g(x) tienen
sentido.
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2
F(x) = f(x)
g(x) e f(x) = g(x)F(x) e f ’(x) = g’(x)F(x) + g(x)F’(x)
Por lo tanto:
F'(x) =
f ’(x) - g’(x)F(x)
g(x) =
f ’(x) - g’(x) $ f(x)
g(x)
g(x) = g(x)f ’(x) - f(x)g’(x)
[g(x)]2
Es decir: "denominador por la derivada del numerador, menos numerador por
la derivada del denominador, partido por el cuadrado del denominador".
Derivar las siguientes funciones:
a) f(x) = 1 + x b)c) d)
1 − x f(x) = x2 + 1
x + 2 f(x) = 1
x3 f(x) = x−1
Solución .- Basta con aplicar la fórmula para la derivada de un cociente y recordar
la regla para derivar una función polinómica.
a) f '(x) =
(1 − x) $ 1 − (1 + x) $ (−1)
(1 − x)2 = 1 − x + 1 + x
(1 − x)2 = 2
(1 − x)2
b) f '(x) =
(x + 2) $ 2x − (x2 + 1) $ 1
(x + 2)2 = 2x2 + 4x − x2 − 1
(x + 2)2 = x2 + 4x − 1
(x + 2)2
c) f '(x) =x3 $ 0 − 1 $ 3x2
(x3 )2 = −3x2
x6 = − 3
x4
d) f (x) = 1x
e f ’(x) = x $ 0 − 1 $ 1
x2 = − 1
x2
Resolver el Ejemplo 6.1 sin utilizar límites.
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fg
’
(x) = g(x)f ’(x) − f(x)g’(x)
g2(x)
Ejemplo 1.2
Ejemplo 2.2
Solución .-
f(x) = x2 − 1
x2 + 1 e f ’(x) =
(x2 + 1) $ 2x − (x2 − 1) $ 2x(x2 + 1)2 = 4x
(x2 + 1)2
Por tanto, f ' (1) = . 44
= 1
Resolver el Ejemplo 7.1 sin utilizar límites.
Solución .- f(x) = m
x2 e f ’(x) = x2 $ 0 − m $ 2x
x4 = −2mx
x4 = −2m
x3
De este modo: f ' (1) = 2 g − 2m = 2 g m = −1
DERIVADA DE LA FUNCIÓN POTENCIAL CON EXPONENTE NEGATIVO
Recibe este nombre la función f(x) = x−n , n c Z+ , que puede escribirse
con exponente entero positivo en laforma
f(x) = 1 , siendo , obviamente Dom (f) = R - {0}.
xn
Aplicando la fórmula para derivar un cociente y recordando la derivada de la función
potencial natural, tendremos:
f ' (x) = xn $ 0 − 1 $ nxn−1
(xn )2 = −nxn−1
x2−n = −n $ xn−1
x2n = −nx−n−1
De este modo, la regla de derivación es la misma tanto si el exponente es positivo
como negativo:
Obsérvese que f(x) = xn , n c Z+ esderivable en R , pero f(x) = x−n , n c Z+
es derivable en R - {0} .
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f(x) = x−n e f ’(x) = −nx−n−1
Ejemplo 3.2
Derivar la función f(x) = 4x3 − 7
x4 + 4
x5 − x + 6
Solución .-
f(x) = 4x3 − 7x−4 + 4x−5 − x + 6 e f ’(x) = 12x2 + 28x−5 − 20x−6 − 1
e f ’(x) = 12x2 + 28
x5 − 20
x6 − 1
DERIVADA DE LAFUNCIÓN RAIZ CUADRADA
En el Ejemplo 11.1 se vio , mediante la definición de derivada, que la
función f(x) = x es derivable en (0,+∞) , siendo f '(x) = 1 .
2 x
Veremos otro procedimiento en el que se utiliza la derivada de un producto de
funciones.
f(x) = x e [f(x)]2 = x e f(x)f(x) = x
Derivando los dos miembros de la última igualdad, se tiene:
f '(x)f(x) + f(x)f '(x) = 1 e 2f(x)f ’(x) = 1 ef ’(x) = 1
2f(x) = 1
2 x
De forma análoga, hallar la derivada de la función f(x) = 3 x .
Solución .- f(x) = 3 x e [f(x)]3 = x e f(x)f(x)f(x) = x
Derivando en los dos miembros
f '(x)f(x)f(x) + f(x)f '(x)f(x) + f(x)f(x)f '(x) = 1 e 3f ’(x)[f(x)]2 = 1
e f ’(x) = 1
3[f(x)]2 = 1
3( 3 x )2 = 1
3 3 x2
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