matematicas

Carlos Ivorra Castillo

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ANALISIS MATEMATICO

Si una cantidad no negativa fuera tan peque˜a
n
que resultara menor que cualquier otra dada, ciertamente no podr´ ser sino cero. A quienes preguntan
ıa
qu´ es una cantidad infinitamente peque˜a en mae
n
tem´ticas, nosotros respondemos que es, de hecho,
a
cero. As´ pues, no hay tantos misterios ocultos es este
ı
concepto como sesuele creer. Esos supuestos misterios han convertido el c´lculo de lo infinitamente
a
peque˜o en algo sospechoso para mucha gente. Las
n
dudas que puedan quedar las resolveremos por completo en las p´ginas siguientes, donde explicaremos
a
este c´lculo.
a
Leonhard Euler

´
Indice General
Introducci´n
o

ix

Cap´
ıtulo I: Topolog´
ıa
1.1 Espacios topol´gicos . . . . . .
o
1.2Bases y subbases . . . . . . . .
1.3 Productos y subespacios . . . .
1.4 Algunos conceptos topol´gicos .
o
1.5 Continuidad . . . . . . . . . . .
1.6 L´
ımites de funciones . . . . . .
1.7 Convergencia de sucesiones . .
1.8 Sucesiones y series num´ricas .
e

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1
1
8
11
15
20
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Cap´ıtulo II: Compacidad, conexi´n y completitud
o
2.1 Espacios compactos . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Espacios conexos . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Espacios completos . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Espacios de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5 Aplicaciones a las series num´ricas . . . . . . . .
e
2.6 Espacios de funciones . . . . . . . . . . . . . . .2.7 Ap´ndice: El teorema de Baire . . . . . . . . . .
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Cap´
ıtulo III: C´lculo diferencial de una variable
a
3.1 Derivaci´n . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .
o
3.2 C´lculo de derivadas . . . . . . . . . . . . . . .
a
3.3 Propiedades de las funciones derivables . . . . .
3.4 La diferencial de una funci´n . . . . . . . . . .
o
3.5 El teorema de Taylor . . . . . . . . . . . . . . .
3.6 Series de potencias . . . . . . . . . . . . . . . .
3.7 La funci´n exponencial . . . . . . . . . . . . . .
o
3.8 Las funciones trigonom´tricas . .. . . . . . . .
e
3.9 Primitivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.10 Ap´ndice: La trascendencia de e y π . . . . . .
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v

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INDICE GENERAL

vi

Cap´
ıtulo IV: C´lculo diferencial de varias variables
a
157
4.1 Diferenciaci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
o
4.2 Propiedades de las funciones diferenciables . . . . . . . . . . . . . 164
4.3 Curvasparametrizables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
Cap´
ıtulo V: Introducci´n a las variedades diferenciables
o
5.1 Variedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Espacios tangentes, diferenciales . . . . . . . . . . . . .
5.3 La m´trica de una variedad . . . . . . . . . . . . . . . .
e
5.4 Geod´sicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
e
5.5...