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DEFINICIÓN DE MATRIZ Y OPERACIONES ENTRE MATRICES

Los conceptos que trataremos a continuación constituyen una aportación importante a las ciencias económico administrativas dado que existe una buena cantidad de aplicaciones que se pueden expresar mediante esta forma de conceptualizar a algunos fenómenos de tales ciencias en los campos de: las propias ciencias, la estadística, la investigaciónde operaciones, la estadística, las ecuaciones diferenciales, etc. Solo por mencionar algunas aplicaciones.

Definiciones
Matriz. “(Del lat. matrix, -īcis). Mat. Conjunto de números o símbolos algebraicos colocados en líneas horizontales y verticales y dispuestos en forma de rectángulo.”1

Matriz: “Una matriz es una tabla rectangular de números. Una de las principales aplicaciones de lasmatrices es la representación de sistemas de ecuaciones de primer grado con varias incógnitas. Cada fila de la matriz representa una ecuación, siendo los valores de una fila los coeficientes de las distintas variables de la ecuación, en determinado orden.”2

A partir de las dos definiciones anteriores podríamos decir, de modo general, que una matriz: “Es una tabla de doble entrada que representanuno o varios lugares geométricos en un plano cartesiano”.

Aunque estos no necesariamente se tratan de ecuaciones de tipo lineal, una aplicación diferente de este tema donde se emplean matrices será vistos en: el Método de Mínimos Cuadrados, en Ecuaciones Diferenciales, Ecuaciones en diferencia, etc.

Desarrollo intuitivo
Suponga el siguiente ejemplo: A la salida de un almacén se le pregunta ados caballeros lo que adquirieron y su costo total: la primer persona compró 5 trajes y 3 corbatas con un costo total de 15,750 y la segunda persona compró 8 trajes y 9 corbatas con un total de 28,350 ¿Cuál es el costo de cada traje y cada corbata?

A partir de lo anterior debemos plantear un sistema de ecuaciones en lenguaje simbólico que represente tal problema, para ello asuma querepresentará el precio de cada traje y representará el precio de cada corbata de modo tal que cada una de las ecuaciones quedará como sigue:




Note que la forma de expresar, en lenguaje simbólico, el problema planteado está expresado en la forma general de la recta y que para encontrar el valor de las variables contamos con varios procedimientos de solución que son:

1) Método de eliminación porigualación.

2) Método de eliminación por sustitución.

3) Método de reducción.

Métodos algebraicos se muestran a continuación:

Método de eliminación por igualación
Ejemplo 1. Sean:
Ecuación (1)
Ecuación (2)

De la ecuación (1)






De la ecuación (2)




Entonces:






Sustituyendo el resultado anterior en (1) tenemos:








Según lo anterior y ,pero debemos verificar que los valores con correctos, de la forma siguiente:
Sustituyendo en (1)



Sustituyendo en (2)




Como podemos notar los valores calculados son correctos, lo anterior se puede verificar visualmente en la siguiente gráfica, esto será aproximado.


Método de eliminación por sustitución
Suponga el siguiente Ejemplo (2):
A la salida de un almacén se le preguntóa dos damas lo que adquirieron y su costo total: la primer mujer compró 3 vestidos y 2 pares de zapatos con un costo total de 6,670 y la segunda mujer compró 5 vestidos y 3 pares de zapatos con un total de 10,930 ¿Cuál es el costo de cada vestido y cada par de zapatos?

De modo semejante consideremos como el precio unitario de cada vestido y el precio de cada par de zapatos, lo que se expresaen lenguaje simbólico de la forma siguiente:

Ecuación (3)
Ecuación (4)

Despejando de la ecuación (3)





Sustituyendo lo anterior en (4)
Sea:







Sustituyendo el resultado anterior en (3) tenemos:







En suma lo calculado es cada vestido y cada par de zapatos, pero debemos verificar:

Ecuación (3)



Sustituyendo en la ecuación (4)
Ecuación (4)...