Matematicas

INTERÉS COMPUESTO


El objetivo de este capítulo es capacitar al estudiante para manejar los factores que intervienen en los cálculos del interés compuesto y enseñarle los análisis matemáticos que conducen al desarrollo de las fórmulas para el cálculo de montos, tasas y tiempos. Al terminar el capítulo el estudiante será capaz de reconocer, definir y calcular los factores que intervienen en elinterés compuesto, calcular montos, tasas nominales, tasas efectivas y tasas equivalentes.

En los problemas de interés simple, el capital que genera los intereses permanece constante todo el tiempo de duración del préstamo. Si en cada intervalo de tiempo convenido en una obligación se agrega los intereses al capital, formando un monto sobre el cual se calcularán los intereses en el siguienteintervalo o período de tiempo y, así, sucesivamente, se dice que los intereses se capitalizan y que la operación financiera es a interés compuesto.

1. CONCEPTOS GENERALES.

Interés compuesto:
En una operación financiera a interés compuesto, el capital aumenta en cada final de período, por adición a los intereses vencidos a la tasa convenida. Función del tiempo El crecimiento natural es unavariación proporcional a la cantidad presente en todo instante; tal es el caso del crecimiento de los vegetales, de las colonias de bacterias, de los grupos de animales, etc. Estos crecimientos son funciones continuas del tiempo. En la capitalización a interés compuesto, también se produce el crecimiento continuo.

Período de capitalización:
Es el intervalo de tiempo convenido en la obligación,para capitalizar los intereses.

Tasa de interés compuesto:
Es el interés fijado por período de capitalización.

Monto de un capital a interés compuesto o monto compuesto:
Es el valor del capital final o, capital acumulado después de sucesivas adiciones de los intereses.


2. COMPARACIÓN ENTRE SIMPLE E INTERES COMPUESTO

Por ser objetiva, la mejor forma de comparar los montos esdibujando las gráficas correspondientes a una misma tasa, para el interés simple y el compuesto. Sea por ejemplo la tasa del 20% y un capital de Q1000. Los montos son M = 1000 [1 + n(0,20)] para el interés simple y M = (1 + 0,20)n para el interés compuesto.

Función discreta
a = monto de Q1000 al interés simple del 20%
b = monto de Q1000 al interés compuesto del 20%
Función continúa
A línea recta M=1000 + n (1,20)
B función exponencial M = 1000(1,2)n
El monto a interés compuesto crece en razón geométrica y su gráfica corresponde a la de una función exponencial. Por su parte, el monto a interés simple crece en progresión aritmética y su gráfica es una línea recta.


3. TASA NOMINAL, TASA EFECTIVA Y TASAS EQUIVALENTES

La tasa convenida para una operación financiera es su tasa nominal.Tasa efectiva de interés es la que realmente actúa sobre el capital de la operación financiera. La tasa nominal puede ser igual o distinta de la tasa efectiva y esto sólo depende de las condiciones convenidas para la operación. Por ejemplo, si se presta un capital del 8% con capitalización trimestral, el 8% es la tasa nominal anual, la tasa efectiva queda expresada por los intereses quecorresponden a Q100 en un año, en las condiciones del préstamo. Para el monto, tenemos:

M = C (1+ i )n

n = 4; C= 100; 8%/4= 2%=tasa efectiva en el período; i = 0.02

M = 100 (1 + 0.02)4 = 100 (1.02)4 = 100 (1.0824321)

M = Q108.24321

Q100.00 ganan Q8.24321 en un año o sea tasa efectiva = 8.24321%


Tasas equivalentes:
Son aquellas que, en condiciones diferentes, producen la misma tasaefectiva anual.

En el texto utilizaremos los siguientes símbolos para las diferentes tasas, expresadas en tanto por ciento.

i = efectiva anual
j = nominal anual
m = número de capitalizaciones en el año

Para el 12% con capitalización trimestral se tiene m = 4; j = 12; j/m = 12/4= 3%. El símbolo i se refiere al tanto por uno, en el período.

Relación entre la tasa nominal y efectiva:...