Matematicas

Sea sea

I
0

X E (1,

(0).

Ademas

f' (x)

=-

In x + 12 < 0 para x (xlnx)

E

(!, (0).
e

En eonsecuencia f es decreciente

'l/x:2: 2 .

Todo 10 anterior indica que Las hip6tesis del criterio de la integral se satisfacen para 1

f(x)=-.

x lnx

Jz x In x

1_1_dx = lim f_
b->oo

1

Jz x In x

_ dx

= lim [In(lnx)r
b-'»oo

2

= lim [In (In b)-In(ln2)]
b-'»oo

= 00

Como el limite no existe, ·la )ntegral

impropia diverge. Asi, se concluye que la serie

L --00

1
es divergente.

n=1

n In( n)

Utilizando el criterio de la integral, aproximar la, s!1ma de la serie

I ne-n
n=!

00

con sus cuatro

primeros terminos, y determinar una medida en el error cometido en el calculo.

Como

f (x) = x e -x

satisfacelas condiciones del teorema de la integral, integrando por parte

se tiene que,

fxe-xdx=

b~ro~

lim

ro xe-xdx=

b~

lim [-e- (x+l)Jb
X

= lim [-e-b(b+l)+~J=~
I

b~ro

e

e
S. Asi al

Ya que el limite existe, se concluye que la serie converge, con una cierta suma aproximar esta suma, con la cuarta suma parcial S4' se tiene que

Ademas, puesto que el resto Rk estaacotado por es igual a, Error

°

< Rk <

r

f (x ) dx

se tiene que el error

= R4 < [xe-xdx

=

b~oo

lim [_e-x (x + l)Jb

4

= ~ ~ 0,08915781
e

Usar el criterio de la integral para demostrar que la serie p diverge si p s; 1 y converge si p>l.

La serie p es

In
n=l

00

1
P

111

1

=iP+2P+Y+4'P+····

Prueba de la integral y estimacion de sumas
Iitllllg •• ~itl.-..n, •.• '

n 5 10 50 100 500 1000 5000

s" =

L-:T
i=\ I

" 1

En general, es diffcil determinar la suma exacta de una serie. Lo anterior fue po las series geometric as y la serie 2: l/[n(n +1)] porque en cada uno de los caso deducir una f6rmula sencilla para la n-esima suma parcial Sn' Pero normalmente cil calcuhir Ifm Sn' Como consecuencia, en esta secci6n y en laspr6ximas se desffi:: n~ varias pruebas que permiten establecer si una serie es convergente 0 divergente. haya necesidad de calcular la suma en forma explfcita. No obstante, en algunos c tros metodos nos permitinin tener unos buenos estimados de la suma. Nuestra r prueba hace intervenir integrales impropias. Investiguemos la serie cuyos terminos son los recfprocos de los cuadrados de los positivos:1.4636 1.5498 1.6251 1.6350 1.6429 1.6439 1.6447

No existe una f6rmula sencilla para la suma Sn de los primeros n terminos, pero generada por computadora de los valares (al margen), sugiere que las sumas par=: aproximan a un mimero cercano a 1.64, conforme n ---7 00, par 10 que parece qu es convergente. Podemos confirmar esta impresi6n con un argumento geometrico. La figura 1 la curva y = 1/r ylos rectingulos que estin debajo de la curva. La base de caGE. gulo es un intervalo de longitud 1; la altura es igual al valor de la funci6n y = : extrema derecho del intervalo. As! que la suma de las areas de los rectangulos

-+-+-+-+-+ 2 2 2 2
1 2 3 4

11111

52

...=

n~

2;-2 n
I

001

area =.1

e
area=...L
32

area =...L 42

Si excluimos el primer rectangulo, el areatotal de los rectiingulos restante _ pequefia que el area bajo la curva y = 1/x2 para x ~ 1, 10 cual es el valor de la . oo (I/x2) dx. En la secci6n 7.8, encontramos que esta integral impropia es cony y que tiene un valor de 1. As! que la figura muestra que todas las sumas parciales = nores que

fl

1 1 -+ foo -dx=2 2 2 1
I

x

Por consiguiente, las sumas parciales estan acotadas. Tambiensabemos que las parciales son crecientes (porq ue todos los terminos son positivos) par tanto, las su cialesC9!1vergen (por el teorema de la sucesi6n mon6tona) de manera que la serie =' vergenie.'ta sum a de la serie (elIfmite de las sumas parciales) es tambien menor

s="n LJ

"

1

[El matematieo suizo Leonhard Euler (1707-1783) ealcu16la suma exaeta de esta serie y es 7T2/6; sin...