matematicas

1. Demuestre por inducción que:
∀n ∈ N , 32n+4 − 22n es divisible por 5.
A = {n N : 32n+4 − 22n es divisible por 5}
a) 0 A
32(0)+4 − 22(0) = 5t
34 − 1 = 5t
80 = 5t
b) Supongamos que 32n+4 − 22n = 5t es verdadero
Por demostrar que 32(n+1)+4 − 22(n+1) = 5t
Demostración:
32(n+1)+4 − 22(n+1) = 5t
32n+2+4 − 22n+2 = 5t
32n+4 · 32 − 22n+2 = 5t
32n+4 · 32 − 22n · 22 = 5t
32n+4 · 32 − 22n ·4 = 5t
32n+4 · 32 − 22n · (32 − 5) = 5t
32n+4 · 32 − 22n · 32 + 22n · 5 = 5t
32 · (32n+4 + 22n ) · 22n · 5 = 5t
hipotesis divisible
32 · (5t) + 22n · 5 = 5t
5 · (32 · t + 22n ) = 5t
1

∴n+1 A
∴A=N
2. Demuestre por inducción que:
2 + 5 + 8 + . . . + (3n − 1) =

n (3n + 1)
, ∀n∈N :n
2

n

(3n − 1) =

A = {n N :
i=1

n(3n + 1)
}
2

a) 1 A
1(3(1) + 1
2
2=2

3(1) − 1=

b) Supongamos que
n

(3n − 1) =
i=1

n(3n + 1)
2

es verdad.
Por demostrar que
n+1

(3n − 1) =
i=1

2

n + 1(3(n + 1) + 1)
2

1

Demostración:
n+1

n

(3n − 1) =
i=1

i=1

=
=
=
=
=
=
=
=

n+1

(3n − 1) +

(3n − 1)
i=n+1

n(3n + 1)
+ 3(n + 1) − 1
2
n(3n + 1)
+ 3n + 3 − 1
2
n(3n + 1)
+ 3n + 2
2
n(3n + 1 + 6n + 4
2
2
3n + n + 6n + 42
3n2 + 7n + 4
2
n + 1)(3n + 4)
2
(n + 1)(3(n + 1) + 1)
2

∴n+1 A
∴A=N

3

3. Resuelva las siguientes ecuaciones en N:
a)

4+x=7
s(3) + x = s(6)
s(3 + x) = s(6)
3+x=6
s(2) + x = s(5)
s(2 + x) = s(5)
2+x=5
s(1) + x = s(4)
s(1 + x) = s(4)
1+x=4
s(0) + x = s(3)
s(0 + x) = s(3)
0+x=3
x=3

b)

/por inyectividad

/por inyectividad

/por inyectividad

/porinyectividad

x+5=3
x + s(4) = s(2)
s(x + 4) = s(2)
x+4=2
x + s(3) = s(1)
s(x + 3) = s(1)
x+3=1
x + s(2) = s(0)
s(x + 2) = s(0)
x+2=0

/por inyectividad

/por inyectividad

/por inyectividad

∴x∈N
/

4

c)

3x = 12
x = 0 pues de lo contrario 3x = 0 lo que seria una contradicción,
entonces x s(N ) y ∃ yN : s(y) = x
3 · s(y) = s(11)
3 · y + 3 = s(11)
3y + s(2) = s(11)
s(3y+ 2) = s(11)
3y + 2 = 11
3y + s(1) = s(10)
s(3y + 1) = s(10)
3y + 1 = 10
3y + s(0) = s(9)
s(3y + 0) = s(9)
3y = 9

/por inyectividad

/por inyectividad

/por inyectividad

Como y = 0 de lo contrario 3y = 0 lo que seria una contradicción,
entonces y N y ∃w N : s(w) = y
3 · s(w) = s(8)
3w + 3 = s(8)
3w + s(2) = s(8)
s(3w + 2) = s(8)
3w + 2 = 8
3w + s(1) = s(7)
s(3w + 1) = s(7)3w + 1 = 7
3w + s(0) = s(6)
s(3w + 0) = s(6)
3w = 6

/por inyectividad

/por inyectividad

/por inyectividad

5

Como w = 0 de lo contrario 3w = 0 lo que seria una contradicción,
entonces w N y ∃z N : s(z) = w
3 · s(z) = s(5)
3 · (z) + 3 = s(5)
3z + s(2) = s(5)
s(3z + 2) = s(5)
3z + 2 = 5
3z + s(1) = s(4)
s(3z + 1) = s(4)
3z + 1 = 4
3z + s(0) = s(3)
s(3z + 0) = s(3)
3z= 3

/por inyectividad

/por inyectividad

/por inyectividad

∴ puesto que g(n, 1) = n ⇒ 3z = 3 lo cual seria z = 1 y como s(z)
=w ⇒ w = 2, como s(w)= y ⇒ y = 3, y como s(y)=x⇒ x = 4; lo
cual seria lo mismo que decir que x = s(s(s(1))), lo cual daria igual
4.
d)

2x + 3 = 9
2x + s(2) = s(8)
s(2x + 2) = s(8)
2x + 2 = 8
2x + s(1) = s(7)
s(2x + 1) = s(7)
2x + 1 = 7
2x + s(0) =s(6)
s(2x + 0) = s(6)
2x = 6

/por inyectividad

/por inyectividad

/por inyectividad

6

Como x = 0 pues de lo contrario 2x = 0 lo que seria una contradicción, entonces x s(N ) y ∃ yN : s(y) = x
2 · s(y) = s(5)
2y + 2 = s(5)
2y + s(1) = s(5)
s(2y + 1) = s(5)
2y + 1 = 5
2y + s(0) = s(4)
s(2y + 0) = s(4)
2y = 4

/por inyectividad

/por inyectividad

Como y = 0 de locontrario 2y = 0 lo que seria una contradicción,
entonces y N y ∃z N : s(z) = y
2 · s(z) = s(3)
2 · z + 2 = s(3)
2z + s(1) = s(3)
s(2z + 1) = s(3)
2z + 1 = 3
2z + s(0) = s(2)
s(2z + 0) = s(2)
2z = 2

/por inyectividad

/por inyectividad

∴ puesto que g(n, 1) = n ⇒ 2z = 2 lo cual seria z = 1 y como s(z)
=y ⇒ y = 2 y como s(y)=x⇒ x = 3; lo cual seria lo mismo que decir
que x = s(s(1)),...