Matematicas

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CAPITULO 4

Razones de Cambio Relacionadas
M.Sc. Sharay Meneses R.

Instituto Tecnol´gico de Costa Rica o Escuela de Matem´tica a

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Revista digital Matem´tica, educaci´n e internet (www.cidse.itcr.ac.cr) a o

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Cr´ditos e

Primera edici´n (MS Word) o Edici´n LaTeX: o

M. Sc. Sharay Meneses R., 2005. M.Sc. Walter Mora F.

Contenido
4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 Introducci´n . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o Problemas de Razones Relacionadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ejercicios Complementarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.1 Respuestas de los ejercicios complementarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pr´cticaadicional de razones relacionadas (M.Sc. Luis Carrera R., M.Sc. Sharay Meneses R.) a 4.4.1 Respuestas a la pr´ctica adicional de razones relacionadas . . . . . . . . . . . . . . . . a Bibliograf´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 4 9 11 12 15 164.1

Introducci´n o

dy Se ha estudiado la regla de la cadena para obtener, impl´ ıcitamente, de una funci´n y = f (t). As´ por ejemplo, o ı, dt d dy ( y n) = n y n − 1 . dt dt Otra aplicaci´n importante de lo anterior es el c´lculo de razones de cambio de dos o m´s variables que cambian con el o a a tiempo; o sea, ¿qu´ tan r´pido var´ una cantidad en el tiempo? e a ıa Por ejemplo, supongaque se tiene un recipiente c´nico con agua, como el que se muestra en la figura. Cuando el agua sale o del recipiente, el volumen V, el radio r y la altura h del nivel del agua son, las tres, funciones que dependen del tiempo t.

Recipiente lleno

Recipiente vaci´ndose a

Estas tres variables est´n relacionadas entre s´ por la ecuaci´n del volumen del cono; a saber: a ı, o π 2 r h 3 3

V =(∗)

4 Por otra parte, derivando impl´ ıcitamente ambos lados de (*) respecto del tiempo t, se obtiene la siguiente ecuaci´n o de razones relacionadas: dV = dt π 3 dr dh + r2 dt dt

2rh

Se puede observar que la raz´n de cambio del volumen, est´ ligada a las razones de cambio de la altura y del radio, en donde: o a dV es la raz´n o rapidez a la cual var´ el volumen con respecto altiempo o ıa dt dr es la raz´n o rapidez a la cual var´ el radio con respecto al tiempo o ıa dt dh es la raz´n o rapidez a la cual var´ la altura con respecto al tiempo o ıa dt dV As´ por ejemplo, ı, = 10 m3 /seg significa que el volumen est´ aumentando 10 m3 cada segundo; mientras que, a dt dV = −10 m3 /seg significa que el volumen est´ disminuyendo 10 m3 cada segundo. a dt

4.2

Problemas de RazonesRelacionadas

De acuerdo con lo expuesto anteriormente, en todo problema de razones relacionadas (o tasas relacionadas), se calcula la rapidez con que cambia una cantidad en t´rminos de la raz´n de cambio de otra(s) cantidad(es). e o

Estrategia para resolver problemas de razones relacionadas o (1) De ser posible, trazar un diagrama que ilustre la situaci´n planteada. (2) Designar con s´ımbolos todas las cantidades dadas y las cantidades por determinar que var´ con el tiempo. ıan (3) Analizar el enunciado del problema y distinguir cu´les razones de cambio se conocen y cu´l es la raz´n de cambio a a o que se requiere. (4) Plantear una ecuaci´n que relacione las variables cuyas razones de cambio est´n dadas o han de determinarse. o a (5) Usando la regla de la cadena, derivar impl´ıcitamente ambos miembros de la ecuaci´n obtenida en (4), con respecto o al tiempo t, con el fin de obtener la ecuaci´n de razones relacionadas. o o (6) Sustituir en la ecuaci´n resultante del punto (5), todos los valores conocidos de las variables y sus razones de cambio, a fin de deducir (despejar) la raz´n de cambio requerida. (Nota: Es hasta en este momento, que se hacen las o sustituciones de...