Matematicas

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NÚMEROS COMPLEJOS

REFLEXIONA Y RESUELVE Extraer fuera de la raíz
■

Saca fuera de la raíz: a) √–16 a) √–16 = √–1 · 16 = 4√–1 b) √–100 b) √–100 = 10√–1

Potencias de √ –1
■

Calcula las sucesivas potencias de √–1 : a) (√–1 ) = (√–1 ) (√–1 ) = …
3 2 3 2

b) (√–1 )

4

c) (√–1 )

5

a) (√–1 ) = (√–1 ) (√–1 ) = (–1) · √–1 = – √–1
4 2 2 b) (√–1 ) = (√–1 ) (√–1 )= (–1) · (–1) = 1 5 4 c) (√–1 ) = (√–1 ) · √–1 = 1 · √–1 = √–1

¿Cómo se maneja k · √ –1 ?
■

Simplifica. a) –2 √–1 + 11 √–1 – 8 √–1 – √–1 b) 5 √–1 + 2 √–1 – 10 √–1 + 3 √–1 c) 8 √–1 + 2 3 1 √–1 – √–1 – √–1 5 10 2

a) –2 √–1 + 11 √–1 – 8 √–1 – √–1 = 0 · √–1 = 0 b) 5 √–1 + 2 √–1 – 10 √–1 + 3 √–1 = 0 c) 8 √–1 + 2 3 1 80 4 3 5 38 √–1 – √–1 – √–1 = √–1 = √–1 + – – 5 10 2 10 10 10 10 5

(

)Unidad 6. Números complejos

1

Expresiones del tipo a + b · √ –1
■

Simplifica las siguientes sumas: a) (–3 + 5 √–1 ) + (2 – 4 √–1 ) – (6 √–1 ) b) (–5) (5 + √–1

) – 2 (1 – 6 √–1 )

a) (–3 + 5 √–1 ) + (2 – 4 √–1 ) – (6 √–1 ) = –1 – 5 √–1 b) (–5) (5 + √–1 ) – 2 (1 – 6 √–1 ) = –3 – √–1
■

Efectúa las siguientes operaciones combinadas: a) 3 (2 – 4 √–1 ) – 6 (4 + 7 √–1 ) b) 8(5 – 3√–1 ) + 4(– 3 + 2 √–1 ) a) 3 (2 – 4 √–1 ) – 6 (4 + 7 √–1 ) = 6 – 12√–1 – 24 – 42√–1 = –18 – 54√–1 b) 8(5 – 3 √–1 ) + 4(–3 + 2 √–1 ) = 40 – 24√–1 – 12 + 8√–1 = 28 – 16√–1

Multiplicaciones
■

Efectúa las siguientes multiplicaciones: a) (4 – 3 √–1 ) · √–1 c) (5 + 2 √–1 )(7 – 3 √–1 )
2

b) (5 + 2 √–1 ) · 8 √–1 d) (5 + 2 √–1 )(5 – 2 √–1 )

a) (4 – 3 √–1 ) · √–1 = 4√–1 – 3(√–1 ) = 4√–1 – 3(–1) = 3 + 4√–1 b) (5 + 2 √–1 ) · 8 √–1 = 40√–1 + 16(√–1 ) = –16 + 40√–1 c) (5 + 2 √–1 )(7 – 3 √–1 ) = 35 – 15√–1 + 14√–1 – 6(√–1 ) = 35 + 6 – √1 = 41 – √–1 d) (5 + 2 √–1 )(5 – 2 √–1 ) = 25 – 10√–1 + 10√–1 – 4(√–1 ) = 25 + 4 = 29
2 2 2

Ecuaciones de segundo grado
■

Resuelve: a) x 2 + 10x + 29 = 0 a) x 2 + 10x + 29 = 0 8 x = b) x 2 + 9 = 0 –10 ± √100 – 116 –10 ± √–16 –10 ± 4 √–1 = = = 2 2 2 —x1 = –5 + 2√–1 — = –5 ± 2√–1 x2 = –5 – 2√–1 — x1 = 3√–1 — x2 = –3√–1
Unidad 6. Números complejos

b) x 2

+9=0 8

x2

= –9 8 x = ±√–9 = ±3√–1

2

UNIDAD

6

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1. Representa gráficamente los siguientes números complejos y di cuáles son reales, cuáles imaginarios y, de estos, cuáles son imaginarios puros: 5 – 3i; 1 + 5 i; –5i; 7; √3 i; 0; –1 – i; –7; 4i 2 4 • Reales: 7, 0y –7 Imaginarios: 5 – 3i, 1 5 + i, –5i, √ 3 i, –1 – i, 4i 2 4

Imaginarios puros: –5i, √ 3 i, 4i • Representación:
4i

— √ 3i i –7 –1 – i

1 5 —+—i 2 4 1 7

5 – 3i –5i

2. Obtén las soluciones de las siguientes ecuaciones y represéntalas: a) z 2 + 4 = 0 c) 3z 2 + 27 = 0 b) z 2 + 6z + 10 = 0 d) 3z 2 – 27 = 0

2i

± √ –16 ± 4i a) z = = = ± 2i 2 2 z1 = 2i, z2 = –2i
–2i

b) z = =–6 ± √ 36 – 40 –6 ± √ –4 = = 2 2 –6 ± 2i = –3 ± i; z1 = –3 – i, z2 = –3 + i 2

–3 + i

–3 – i

Unidad 6. Números complejos

3

3i

c) z 2 = –9 8 z = ± √ –9 = ±3i z1 = –3i, z2 = 3i

–3i

d) z 2 = 9 8 z = ±3 z1 = –3, z2 = 3
–3 3

3. Representa gráficamente el opuesto y el conjugado de: a) 3 – 5i e) 5 b) 5 + 2i f) 0 c) –1 – 2i g) 2i
–3 + 5i

d) –2 + 3i h) –5i
3 + 5i

a)Opuesto: –3 + 5i Conjugado: 3 + 5i

3 – 5i

b) Opuesto: –5 – 2i Conjugado: 5 – 2i
5 + 2i

–5 – 2i

5 – 2i

4

Unidad 6. Números complejos

UNIDAD

6

c) Opuesto: 1 + 2i Conjugado: –1 + 2i
–1 + 2i 1 + 2i

–1 – 2i

d) Opuesto: 2 – 3i
–2 + 3i

Conjugado: –2 – 3i

–2 – 3i

2 – 3i

e) Opuesto: –5 Conjugado: 5 f) Opuesto: 0 Conjugado: 0 g) Opuesto: –2i Conjugado: –2i
2i 0–5 5

–2i

h) Opuesto: 5i Conjugado: 5i
5i

–5i

Unidad 6. Números complejos

5

4. Sabemos que i 2 = –1. Calcula i 3, i 4, i 5, i 6, i 20, i 21, i 22, i 23. Da un criterio para simplificar potencias de i de exponente natural. i 3 = –i i 20 = 1
CRITERIO:

i4 = 1 i 21 = i

i5 = i i 22 = –1
c

i 6 = –1 i 23 = –i

Dividimos el exponente entre 4 y lo escribimos como sigue:...