Matematicas

EXTREMOS DE UN INTERVALO
Definición de Extremos
Sea  definida en un intervalo I que contiene a c.
1.  es el (valor) mínimo de  en  
2.  es el (valor) máximo de  en  
El máximo y el mínimo de una función en un intervalo son los valores extremos, o simplemente extremos, de la función en ese intervalo. El mínimo y el máximo de una función en un intervalo se llaman también el mínimo absoluto yel máximo absoluto de la función en el intervalo.
Teorema de los valores extremos
Si  es continua en un intervalo cerrado, entonces  alcanza un valor máximo y también un valor mínimo es ese intervalo.
Máximos y Mínimos relativos
Máximos de una Función.
En un punto en el que la derivada se anule y antes sea positiva y después del punto negativo, se dice que la función tiene un máximorelativo. Es decir, que  y en ese punto, la función, pase de creciente a decreciente. En  la función tiene un máximo relativo y se observa que su derivada se anula en ese punto, pasando de positiva a negativa. (Se anula y cambia de signo). Máx en 
Mínimos de una Función
En un punto en el que la derivada se anule y antes sea negativa y después del punto positiva, se dice que la función tiene un mínimorelativo. Es decir, que  y en ese punto, la función, pase de decreciente a creciente. En  la función tiene un mínimo relativo y se observa que su derivada se anula en ese punto, pasando de negativa a positiva. Mín en. Para que una función tenga máximo o mínimo no es suficiente con que su derivada se anule (debe, además, cambiar de signo).
Definición de extremos relativos
1. Si existe un intervaloabierto que contiene a c y en el que  es máximo, entonces  se llama máximo relativo de.
2. Si existe un intervalo abierto que contiene a c y en el que  es mínimo, entonces  se llama un mínimo relativo de.
Definición de números críticos
Sea  definida en c. Si  no está definida en c, se dice que c es un número crítico de.
Teorema 1 Los extremos relativos sólo ocurren en los números críticosSi  tiene un máximo relativo o un mínimo relativo en,  es un número critico de.

NÚMERO CRÍTICO
1-¿Explique con sus propias palabras el concepto de número crítico?
Un número crítico son los valores máximos relativos de una función o mínimos relativos de una función teniendo esta función una pendiente (m) cero, (por ser un punto) o también puede que la función no exista.
2-¿Explique con sus propiaspalabras que diferencia existe entre valores extremos absolutos y valores extremos relativos?
Los valores extremos absolutos son los puntos más altos y más bajos que encontramos en la función [a, b] mientras que los valores extremos relativos serán siempre el punto en el que se produzca un cambio de creciente a decreciente o todo lo contrario.
3-¿Explique cuál es el procedimiento para hallarlos números críticos de una función?
Primeramente obtener la derivada de la función, seguidamente igualar a cero, y por último factorizar y finalmente obtenemos los números críticos.
4-¿De acuerdo al procedimiento para hallar los números críticos de una función determine los números críticos de:
F(x) = - 6 + 9x 
F’(x) = 3 - 12x + 9
% 3 (3 - 12x + 9 = 0)
- 4x + 3 = 0
(x – 3) (x – 1) = 0
x –3 = 0 ; x – 1 = 0
x = 3 ; x = 1
Obtenemos los puntos críticos.
TEOREMA DEL VALOR MEDIO
El teorema del valor medio o de Lagrange dice que:
Sea f es una función continua en [a, b] y derivable en (a, b), existe un punto c  (a, b) tal que:


La interpretación geométrica del teorema del valor medio nos dice que hay un punto en el que la tangente es paralela a la secante.
El teorema de Rolle esun caso particular del teorema del valor medio, en el que f(a) = f(b).
Ejemplos
1. ¿Se puede aplicar el teorema de Lagrange a f(x) = 4x2 − 5x + 1 en [0, 2]?
f(x) es continua en [0, 2] y derivable en (−1, 2) por tanto se puede aplicar el teorema del valor medio:


2.¿Se puede aplicar el teorema de Lagrange a f(x) = 1/ x2 en [0, 2]?
La función no es continua en [−1, 2] ya que no definida...