matematicas

´
MATEMATICAS
para primero de
CIENCIAS

Matem´
aticas

para primero de

Ciencias

Mar´ıa Angeles Mulero D´ıaz
Ignacio Ojeda Mart´ınez de Castilla

A Jara y a Violeta
A Esther

La publicaci´on del presente manual forma parte de las “Acciones para el Desarrollo del
Espacio Europeo de Educaci´on Superior en la Universidad de Extremadura Curso 2006/07”
en el marco de laConvocatoria de ayudas para la mejora de la calidad de la docencia en la
Universidad de Extremadura realizada en febrero de 2007 por el Vicerrectorado de Docencia
e Integraci´on Europea y financiada por la Junta de Extremadura, el Ministerio de Educaci´on
y Ciencia y la Universidad de Extremadura.

Pr´
ologo

El presente manual est´a concebido para servir de apoyo a la docencia de unaasignatura de matem´aticas b´asicas del primer curso de un Grado de la Rama de
Ciencias y se ha redactado a partir de los apuntes elaborados durante varios cursos
para impartir la asignatura de Matem´aticas de primero de Biolog´ıa.
Uno de nuestros principales objetivos como profesores de Matem´aticas es convencer al estudiante de la utilidad de las Matem´aticas para comprender determinados
aspectosde la realidad. Para ello, hemos cre´ıdo conveniente incidir menos en los
aspectos m´as te´oricos, omitiendo por ejemplo la mayor´ıa de las demostraciones, y
hemos procurado exponer abundantes ejemplos que muestren el uso en la Rama de
Ciencias de los conceptos y resultados explicados.
Los contenidos seleccionados son c´alculo, ecuaciones diferenciales, introducci´on a
la probabilidad y´algebra lineal, exponiendo una materia de 6 cr´editos ECTS.
La teor´ıa expuesta en este manual se complementa con notas hist´oricas y rese˜
nas
bibliogr´aficas donde el lector interesado podr´a ampliar sus conocimientos sobre los
temas tratados y, sobre todo, remitimos a la bibliograf´ıa a quien desee consultar las
demostraciones omitidas. Todas las referencias bibliogr´aficas corresponden atextos
de amplia difusi´on.
Al final de cada cap´ıtulo se incluye una relaci´on de ejercicios con los que se
pretende que el alumno reafirme y aplique los conocimientos adquiridos y se ejercite
en el manejo de las t´ecnicas y m´etodos aprendidos. Por u
´ltimo, proponemos una
autoevaluaci´on por cap´ıtulo, formada por una bater´ıa de preguntas esencialmente de
tipo test, destinada a que cadaalumno valore su grado de asimilaci´on de los conceptos
estudiados.
Badajoz, Septiembre de 2007.

´Indice general
Introducci´on

13

Tema I. C´alculo diferencial
Introducci´on
1. Algunas nociones b´asicas sobre R.
2. Funciones reales de variable real
3. L´ımites
4. Continuidad
5. Derivadas
6. Aplicaciones de la derivada
7. Aproximaci´on lineal y polin´omica
Ejercicios de C´alculoDiferencial
Autoevaluaci´on de C´alculo Diferencial

15
15
16
20
26
36
38
44
51
56
62

Tema II. C´alculo integral
Introducci´on
1. La integral indefinida
2. La integral definida
Ejercicios de C´alculo Integral
Autoevaluaci´on de C´alculo Integral

65
65
65
76
89
92

Tema III. Ecuaciones diferenciales
Introducci´on
1. Conceptos b´asicos sobre ecuaciones diferenciales2. Crecimiento exponencial y crecimiento log´ıstico
3. Ecuaciones diferenciales aut´onomas
4. Aproximaci´on lineal y ecuaciones diferenciales
5. Sistemas de ecuaciones diferenciales
Ejercicios de Ecuaciones Diferenciales
Autoevaluaci´on de Ecuaciones Diferenciales

95
95
98
101
107
117
118
127
134

Tema IV. Introducci´on a la probabilidad
Introducci´on
1. Sucesos aleatorios.2. Probabilidad
3. Independencia de sucesos

137
137
138
142
146

11

´INDICE GENERAL

12

Ejercicios de Introducci´on a la Probabilidad.
Autoevaluaci´on de Introducci´on a la Probabilidad

150
154

´
Tema V. Algebra
Lineal
Introducci´on
1. Matrices
2. Determinantes
3. La matriz inversa
4. Sistemas de ecuaciones lineales
5. Forma diagonal de una matriz
6. Modelo...