Matematicas

Construcciones con regla y comp´s a
Juan Sabia

1

Introducci´n o

La idea de esta clase es ver qu´ construcciones geom´tricas pueden hacerse con el uso de e e una regla no graduada (sin marcas), de un comp´s, de un l´piz y una hoja. Esta forma de a a construir figuras geom´tricas la heredamos de los griegos, que relacionaban la geometr´ e ıa con la perfecci´n y la religi´n. Todos estamosacostumbrados a que en el colegio primario o o se ense˜e a trazar la bisectriz de un ´ngulo, la mediatriz de un segmento y a construir n a tri´ngulos con regla y comp´s. La pregunta es qu´ otras construcciones se pueden hacer. a a e Los griegos ya tenan planteadas tres preguntas (que hoy se consideran cl´sicas): a • ¿Se puede trisecar un ´ngulo usando s´lo regla y comp´s? a o a • ¿Se puede duplicarun cubo usando s´lo regla y comp´s? (es decir, si tenemos un o a modelo plano de seis cuadrados para construir un cubo de volumen v, ¿se puede construir un modelo plano para construir un cubo de volumen 2v s´lo usando regla o y comp´s?) a • ¿Se puede cuadrar un c´ ırculo con regla y comp´s? (es decir, dado un c´ a ırculo, ¿se puede dibujar un cuadrado de su misma superficie usando s´lo regla ycomp´s?) o a Otra pregunta que puede formularse es: • ¿Cu´les pol´ a ıgonos regulares pueden construirse usando regla y comp´s? a Vamos a intentar dar respuesta a algunas de estas preguntas (otras se escapan al contenido del curso).

2

Reglas y ejemplo

Lo primero que vamos a fijar son las reglas para dibujar con regla y comp´s. Partimos de a un conjunto dado de puntos en el plano. Lasconstrucciones que pueden hacerse son: • Se puede dibujar la recta que pasa por dos puntos dados. • Se puede trazar la circunferencia que tiene centro en un punto dado y cuyo radio sea la distancia entre dos puntos dados.

1

• Las intersecciones de rectas o circunferencias que se puedan dibujar se consideran puntos que pueden usarse para seguir dibujando. En general, para simplificar la cuesti´n,vamos a considerar que partimos de s´lo dos o o puntos. Un punto se dir´ construible si se puede construir en un n´mero finito de pasos a u a partir de estos dos puntos. Ejemplo: Marcamos primero los dos puntos A y B en el plano:

Podemos trazar la recta que une los dos puntos marcados, o cualquier circunferencia que tenga por centro uno de los puntos y radio la distancia entre dos puntos marcados.Todas las construcciones posibles ser´ ıan:

Con nuestra construcci´n aparecieron cuatro nuevos puntos (C, D, E y F) que podemos o usar para seguir dibujando:

2

Por ejemplo, podemos trazar la circunferencia con centro E y radio igual a la distancia entre A y E, y obtenemos los puntos G y H:

De paso demostramos que algunos pol´ ıgonos regulares son construibles con regla y comp´s: a elhex´gono a

y el tri´ngulo a

y como sabemos bisecar ´ngulos, podemos construir cualquier pol´ a ıgono regular que tenga 2n .3 lados para n natural. Hay dos construcciones b´sicas que sabemos hacer con regla y comp´s que vamos a usar a a y no vamos a detallar: 3

• Dados tres puntos A, B, y C, trazar la perpendicular por C a la recta que pasa por A y B. • Dados tres puntos A, B, y C, trazarla paralela por C a la recta que pasa por A y B. Dados A y B, podemos pensarlos como los puntos (0, 0) y (1, 0) del plano y, por las construcciones b´sicas anteriores, podemos trazar los ejes cartesianos utilizando s´lamente a o regla y comp´s. a

3

Coordenadas
√ √

La noci´n de punto construible ahora significar´ “construible a √ o a partir del √ 0) y del (0, 3 1 1 (1, 0)”. Por ejemplo,en la secci´n anterior, vimos que los puntos ( 2 , 2 ), (− 2 , 23 ), (−1, 0), o

1 (− 2 , − 23 ) y ( 1 , − 23 ) (que, junto al (1, 0) son los v´rtices del hex´gono regular inscripto e a 2 en la circunferencia de centro (0, 0) y radio 1) son construibles.

Lema: Un punto (x, y) es construible si y s´lo si los puntos (x, 0) e (y, 0) son construibles. o Demostraci´n: o ⇒) Si el punto (x, y) es...