matematicas

Limites AL Infinito

En las guías anteriores nos hemos interesado por el comportamiento de una determinada función en las cercanías de un punto. En esta página y en las siguientes estudiaremos el comportamiento de la función cuando la variable independiente ‘x’ se hace muy grande (tiende a más infinito) o muy pequeña (tiende a menos infinito).
En tal sentido, cuando estudiamos el límitede una función AL infinito queremos saber hacia donde se acerca la función cuando ‘x’ tiende al infinito.

Entonces, hay cuatro posibilidades de respuesta:
Caso 1: Que el límite resultante sea un número real.
Caso 2: Que el límite resultante sea más infinito (en cuyo caso f(x) se hace tan grande como se quiera)
Caso 3: Que el límite resultante sea menos infinito (en cuyo caso f(x) se hacetan pequeño como se quiera)
Caso 4: Que no haya límite (en cuyo caso f(x) no se aproxima a ningún valor concreto, ni crece ni decrece indefinidamente, para lo cual diremos que no tiene límite).

Conviene aquí recordar que en los casos en los que decimos que el límite es más infinito o menos infinito, tampoco existe el límite. Decir que el límite es más infinito o menos infinito es una manerasencilla de indicar un comportamiento específico de la función.
A continuación vamos a describir las distintas posibilidades de comportamiento de una función AL infinito, indicando la notación habitual en Matemáticas para referirse a ellas.





Caso 1: Los valores de la función f(x) se aproximan a un cierto número real, b, cuando la variable independiente ‘x ’ tiende a más infinito (o a menosinfinito).
Indicaremos este hecho mediante las siguientes expresiones:


Y diremos que b es el límite de f(x) cuando ‘x’ tiende a más infinito (o a menos infinito, respectivamente).

Vamos a explicar en que consiste este tipo de límites mediante un ejemplo:
¿Qué ocurre cuando ‘x’ se aproxima o tiende a más infinito o menos infinito en la funciónVeamos el grafico de la función:


f(x)= 0 f(x)= 0
x  -  x + Podemos observar lo siguiente:
Los valores de la función f(x) se aproximan a cero según ‘x’ aumenta infinitamente.
= 0

Los valores de la función f(x) se aproximan a cero según ‘x’ disminuye infinitamente.
= 0
Para este caso, 0 es ellímite de f(x)=1/x cuando x tiende a más infinito (o a menos infinito, respectivamente).

Caso 2 : Los valores de la función f(x) crecen indefinidamente cuando la variable independiente ‘x’ tiende a más infinito (o a menos infinito).
Indicaremos este hecho mediante la siguiente expresión:



Y diremos que el límite de f(x) cuando ‘x’ tiende a más infinito (o menos infinito,respectivamente) es más infinito.

Vamos a explicar lo antes expuesto mediante un ejemplo:
¿Qué ocurre cuando ‘x’ se aproxima o tiende a más infinito o menos infinito en la función f(x) = x2 -2x – 8 ?
Veamos el grafico de la función












Podemos observar lo siguiente:
Los valores de lafunción f(x) aumentan infinitamente según ‘x’ aumenta infinitamente.


Los valores de la función f(x) aumentan infinitamente según ‘x’ disminuye infinitamente.


Para este caso, +  es el límite de f(x)= x2 -2x – 8 cuando ‘x’ tiende a más infinito (o a menos infinito, respectivamente).



Caso 3 : Los valores de la función...