Matematicas

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REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES

REFLEXIONA Y RESUELVE Descripción de una gráfica
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Copia en tu cuaderno los datos encuadrados en rojo. A partir de ellos, y sin mirar la gráfica que aparece al principio, representa esta función sobre unos ejes coordenados dibujados en papel cuadriculado. (La solución está en el propio ejercicio).

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Traza unos ejes coordenados sobrepapel cuadriculado y representa una curva, lo más sencilla posible, que cumpla las siguientes condiciones: • •
x 8 –@

lím f (x) = – @ lím f (x) = 2

x 8 +@

• lím f (x) = – @
x 8 2–

• lím f (x) = +@
x 8 2+

• f (0) = 4; f' (0) = 0 • f (–5) = 0; f (1,75) = 0 • f es derivable en todo Á, salvo en x = 2.

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1 –5 1

Unidad 11. Representación de funciones

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■

Describe, con lamenor cantidad de datos y de forma similar a la de los apartados anteriores, la siguiente función:

• • • •

x 8 –@ x 8 +@ x 8 – 3– x 8 – 3+

lím lím

f (x) = –1 f (x) = – @ f (x) = +@ f (x) = +@

lím lím

• f (–9) = 0; f (0) = 0; f (8) = 0 • f' (0) = 0 • f (4) = 4; f' (4) = 0
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Representa sobre unos ejes en papel cuadriculado una gráfica inventada por ti. Descríbela en papelaparte. Dale la descripción a tu compañera o compañero para que la represente. Representa tú la suya. Comparad cada representación con la curva original. Discutid las diferencias que observéis. ¿Hay algún error en la representación? ¿Hay, acaso, error en la descripción? ¿Es todo correcto?

Por ejemplo: • •
1 1 x 8 –@

lím f (x) = – @; lím f (x) = – @;

x 8 +@

lím f (x) = 2 lím f (x) = +@x 8 – 4–

x 8 – 4+

• f (–4) = 0; f' (–4) = 0 • f (1) = 0; f' (1) = 0 • f (0) = 1

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Unidad 11. Representación de funciones

UNIDAD 11

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Observa esta gráfica:

• Halla la ordenada para las siguientes abscisas: x = 0, x = 1, x = 3, x = –7, x = 12, x = – 400, x = 13, x = –199 • ¿En qué puntos no está definida esta función? • ¿Qué tramo de la función te bastaría conocer parahacerte una idea exacta de cómo es la gráfica? • ¿Te sugiere esta curva algún tipo de simetría o periodicidad? • f (0) = 0; f (1) = 1; f (3) = 1; f (–7) = 1 f (12) = 0; f (– 400) = 0; f (13) = 1; f (– 199) = 1 (En general, f (4k) = 0; f (4k + 1) = f (4k – 1) = 1 y no existe f (x) en x = 4k + 2, con k é Z). • La función no está definida en los puntos de la forma x = 4k + 2, con k é Z. • Bastaría conconocer la función para x é [0, 2), si supiéramos que es par y que es periódica de período 4. • Simetría 8 Es una función par (simétrica respecto al eje Y ). Periodicidad 8 Es periódica de período 4.

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1. Halla el dominio de estas funciones: a) y = x 3 – 5x 2 + 7x + 3 b) y = c) y = 3x 3 + 5 x 2 – 5x + 4 x 3 + 2x x2 + 1

a) Dominio = Á b) x 2 – 5x + 4 = 0 8 x = Dominio = Á – {1, 4} c) x2 + 1 ? 0 para todo x 8 Dominio = Á
Unidad 11. Representación de funciones

5 ± √ 25 – 16 5 ± √9 5±3 = = 2 2 2

x=4 x=1

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2. Halla el dominio de: a) y = √x 2 – 2x b) y = ln (x 2 + 1) c) y = ln (x 2 – 1) d) y = ex x2

a) x 2 – 2x Ó 0 8 Dominio = (– @, 0] « [2, +@) b) x 2 + 1 > 0 para todo x 8 Dominio = Á c) x 2 – 1 > 0 8 Dominio = (– @, –1) U (1, +@) d) x 2 = 0 8 x = 0 8 Dominio = Á– {0}

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3. Halla las simetrías y las periodicidades; di dónde son continuas y dónde derivables: a) y = 3x 4 – 5x 2 – 1 c) y = x3 x2 – 1 b) y = √x 2 – 2x d) y = x3 – 1 x2

e) y = sen x + 1/2 (sen 2x) a) f (–x) = 3(–x) 4 – 5(–x) 2 – 1 = 3x 4 – 5x 2 – 1 = f (x) Es una función par: simétrica respecto al eje Y. No es periódica. Es continua y derivable en Á. b) Dominio = (– @, 0] « [2, +@)f (–x) = √x 2 – 2x . No es par ni impar; no es simétrica respecto al eje Y ni respecto al origen de coordenadas. No es periódica. Es continua en su dominio. Es derivable en (– @, 0) « (2, +@). c) Dominio = Á – {–1, 1} f (–x) = –x 3 = – f (x). Es impar: simétrica respecto al origen de coordenadas. x2 – 1

No es periódica. Es continua y derivable en su dominio. d) Dominio = Á – {0} f (–x) = –x...