matematicas

2.   Formas cuadráticas. Expresiones diagonales. Clasificación respecto a su signo. 
2.1  Formas cuadráticas.  Expresión matricial y analítica.  Expresiones diagonales. 
Definición 2.1  (Expresión matricial) 
Una forma cuadrática es una función  :

 que a cada vector 

,

,

,

 le asocia el valor 

 
 siendo A una matriz simétrica, es decir: 
,

,

,

,

,

,

 Su expresión analítica es: 
,

,

,

2

Ejemplo 2.2  Sea  :

2

dada por 

,

2

,

,

2
4
2

,

4
3
2

 
2
2
1

Su expresión analítica es: 
,

,

,

2

4

2

2

3

4
3
2
4

2

4

2

,

2
4
2

3

4

8

2
2
1

,

3

4

2

4

,

2

2

4
3
2

2
4
2

 

 

2

2

2
2

2

 

 Nota: 
•

En la diagonal principal de la matriz están los coeficientes de

•

En el lugar ij de la matriz está la mitad del coeficiente de

,

,

(en este orden).

.

Esta relación entre los elementos de una y otra expresión de la forma cuadrática, permite obtener
fácilmente cada una de ellas a partir de la otra.
Ejemplo 2.3     Sea  :

dada por Su expresión matricial es:            

,

,

,

,

2
,

1
7⁄2
0

,

7
7⁄2
1
2

4
0
2
2

 

 
Definición 2.4    (Expresión diagonal) Sea  :

una forma cuadrática. 

Una expresión diagonal o canónica de q viene dada por: 
0
,

,

,

,

,

,

0
0

0
0

 
ó

0

é

 

1

í

ó
á

.

Observación:  
Pretendemos expresar una forma cuadrática en forma diagonal.Cualquier forma cuadrática admite, al
menos, una expresión diagonal que es la que viene dada por los autovalores de la matriz asociada, aunque,
bajo ciertas condiciones, también pueden existir otras expresiones diagonales.
Proposición 2.5   (Expresión diagonal por autovalores)    
Para toda forma cuadrática   :

, con  A su matriz asociada, y   ,

,

,

 autovalores de A, existe una expresión diagonal dada por: 
,

,

,
 dada por:    

Ejemplo  2.6      Sea la forma cuadrática  :
Su expresión matricial es 

,

,

,

Buscamos los autovalores de la matriz A:

5

3

4

3
2
0

,

3

2
2
0

3
0

6

5

3

,

0
0
5

3

5

4

 

 

0

3

5

2
2

5

5

0

2
3
0
0
0

,

0

3

 

1  
5

0Una expresión diagonal por autovalores es:      

,

5

,

5

Proposición 2.7   (Expresión diagonal de Jacobi) 
Sea     :

 una forma cuadrática y A su matriz asociada.  Consideremos los menores angulares      

formados por las i primeras filas de A y las i primeras columnas de A: 
 
Supongamos que 

. La expresión diagonal de Jacobi de la forma cuadrática q viene dada por: 
,
0,Siempre que 

,

0,

,

0,

,

0 

Es decir, para que  q admita expresión diagonal de Jacobi, se tiene que verificar: 
0 

1
0

2
3

0,

0 
0

0

 dada por   

Ejemplo  2.8      Sea la forma cuadrática  :

,

 
3

,

3

5

4

  

(es la misma forma cuadrática del ejemplo 2.6) 
3
2
0
Como

2 0
3 0
0 5

3

3,

,

3
,

,

3
20,
,

3

2
3

5

3
2
0

0 ,

0  , la forma diagonal de Jacobi es 
5
3

25
5

2

3

5
3

5

2 0
3 0
0 5

25

0

    

Ejemplo  2.9     Sea la forma cuadrática  :

 dada por   

,

1 1
1 1
0 0

,

No admite expresión diagonal de Jacobi: 
1
1
0

1 0
1 0
0 1

1

2

 

 

1 1
1 1

0

0
0
1

0

Nota: (Ley de inerciade Sylvester) Todas las expresiones como suma de cuadrados de q tienen el mismo
número de elementos positivos y negativos.

2.2   Clasificación de las formas cuadráticas 
Definición 2.10   Sea 

:

una forma cuadrática  

•

q es definida positiva si

•

q es semidefinida positiva si

•

q es definida negativa si

•

q es semidefinida negativa si

0

•...