Matematicas

CAPÍTULO 1


Introducción al Programa DERIVE



EJERCICIO 1 Introducción de matrices. Operaciones básicas.



A =[pic] B=[pic] C=[pic] D=[pic] X=[pic]


A + B

[pic]+[pic]= [pic]

B - D

[pic]-[pic]=[pic]+[pic]


Este es el resultado que nos da Derive si le pedimos que simplifique la expresión. No nos da ningún resultado, por que no se pueden restarmatrices de distinto orden.

AB

[pic].[pic]=[pic]

BA


[pic].[pic]=[pic]

Podemos observar el producto de Matrices no es conmutativo AB[pic]BA.

DC

[pic].[pic]=[pic]
CD

[pic].[pic]= [pic].[pic]

Derive no puede dar el resultado porque no se pueden multiplicar estas dos matrices ya que el nº de columnas de C no es igual al nº de filas de C.CT

[pic]=[pic]

xTx

[pic].[pic]=[pic][pic]=[pic][pic]

xxT

[pic].[pic]=[pic]

DTx

[pic]


Derive no puede multiplicar estas dos matrices ya que el nº de columnas de DT no es igual al nº de filas de x.



((A-B)x)T

[pic]

5A - 3B

[pic][pic]


EJERCICIO 2 Matriz hermíticas y antihermíticas.


[pic]

S = A + AH[pic][pic]
[pic]

S = SH

[pic]
W = A - AH

[pic]
W = - WH

[pic]

A=[pic](S+W)

[pic]

Repetir el problema para una matriz real cuadrada cualquiera y comprobar que se verifican las propiedades anteriores

[pic]


S = A + AH


[pic][pic]


S = SH


[pic]


W = A - AH
[pic][pic]W = -WH
[pic]


A = [pic](S+W)


[pic]

EJERCICIO 3 Calculo de determinantes. Matriz inversa.


[pic] [pic] [pic]
[pic] [pic]



Una matriz no tiene inversa si su determinante es igual a 0, por eso calcularemos la inversa de las matrices cuyo determinante sea distinto de 0.[pic]


[pic]






[pic]






EJERCICIO 4 Matrices idempotentes y nilpotentes.



[pic], Calcular F2

[pic][pic]


F es una matriz idempotente, ya que elevada a 2, 3, 4,.... el resultado va a ser la misma matriz F


Calcular la inversa de la matriz G teniendo en cuenta que se puede escribir como la identidad menos una cierta matriz Hnilpotente

[pic]


Sabemos que esta matriz se puede escribir como la identidad menos una cierta matriz H nilpotente, por tanto: G=I-H. De esta última expresión podemos deducir cual es la matriz J, ya que H = I - G.
También sabemos que la matriz I - A es un matiz inversible si A es nilpotente, por tanto si consideramos que A = H resultará que la matriz G es inversible:[pic]


Por tanto G-1:


[pic]


Calcularemos a continuación la matriz nilpotente de H, resultado de restarla a la identidad la matriz G dada, por tanto:


[pic]




El índice de nilpotencia de la matriz H, será la potencia que hará que anule la matriz H:
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]


Por tanto el índice de nilpotenciaes 5


A continuación comprobaremos que la inversa de la matriz G se puede escribir de la siguiente expresión: G-1 = I + H + H2 + H3 + H4


[pic]

Efectivamente se cumple




EJERCICIO 5 Ecuaciones matriciales.





[pic]
[pic]
[pic]
[pic]

BXC = A

B-1BXCC-1 = B-1AC-1 ( IXI =B-1XC-1 ( X=B-1XC-1

[pic]
[pic]
CYDT = 2A-B

C-1CYDT(DT)-1 =C-1(2A-B)(DT)-1 ( IYI = C-1(2A-B)(DT)-1 ( Y = C-1(2A-B)(DT)-1

[pic](

([pic]
ZB = 3C+2Z

ZB-2Z = 3C ( Z(B-2) = 3C ( Z(B-2)(B-2)-1=3C(B-2)-1 ( Z = 3C(B-2)-1

[pic]



































CAPÍTULO 2


Espacios Vectoriales



EJERCICIO 6 Dado el vector x = (2,1,5,5), deducir si pertenece o no al subespacio vectorial de R4:

S =...