matematicas

UNIDAD I
A modo de repaso. Preliminares

1

Conjuntos num´
ericos. Operaciones. Intervalos

1.1

Conjuntos num´
ericos

Los n´
umeros se clasifican de acuerdo con los siguientes conjuntos:
• N´
umeros naturales.- Son los elementos del conjunto N = {0, 1, 2, 3, . . .}.
• N´
umeros enteros.- Son los elementos del conjunto
Z = {. . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . .}.
• N´
umerosracionales.- Son los elementos del conjunto
Q = {p/q, siendo p, q ∈ Z}.
Los n´
umeros racionales suelen denominarse tambi´en fracciones.
• N´
umeros irracionales.- Son aquellos que no se pueden expresar en forma de fracci´on.
√
As´ı, por ejemplo, 2 = 1 414213 . . . , e = 2 718281 . . . y π = 3 141592 . . . son n´
umeros
irracionales.
• N´
umeros reales.- Es el conjunto formado por los n´umeros racionales y los irracionales.
El conjunto de los n´
umeros reales se denota por R.

• N´
umeros complejos.- Son los elementos del conjunto
C = {a + bi, siendo a, b ∈ R e i =
3

√

−1}.

4

UNIDAD I. A modo de repaso. Preliminares

En el n´
umero complejo a + bi, a se llama parte real; b es la parte imaginaria, e i
es la unidad imaginaria.
As´ı, los conjuntos num´ericos secontienen de acuerdo con la secuencia
N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C.
Si clasificamos los n´
umeros en enteros y decimales, la correspondencia con los conjuntos
anteriores es la siguiente:

• Enteros positivos. Son los n´
umeros naturales.
• Decimales con un n´
umero finito de cifras decimales o con infinitas cifras
decimales peri´
odicas. Son los n´
umeros racionales.

• Decimales con infinitascifras decimales no peri´
odicas. Son los n´
umeros irracionales.

Ejemplo 1.1

(a) 1 017 es un n´
umero racional porque 1 017 =

1.017
.
1.000

(b) 2 35 es un n´
umero racional. En efecto, si llamamos x = 2 35 = 2 3535 . . ., entonces
100x = 235 3535 . . .
−

x =

2 3535 . . .

99x = 233.
Por tanto, 2 35 =

233
.
99

(c) 1 023567834567239 . . . es un n´
umeroirracional porque no se puede expresar en forma
de fracci´on.

5

§1. Conjuntos num´ericos. Operaciones. Intervalos

1.2

Operaciones con fracciones

Fracciones equivalentes
a c
y son equivalentes si expresan la misma cantidad, es decir, si a·d = c·b.
b d
As´ı, por ejemplo, las fracciones

Dos fracciones

1 2 3 −4
−5
, , ,
y
2 4 6 −8
−10
son todas equivalentes entre s´ı.
Unafracci´on es irreducible si el numerador y el denominador son n´
umeros primos entre
7
5 1
son irreducibles. Sin
s´ı, es decir, no tienen factores comunes. As´ı, las fracciones , y
7 2 11
4
embargo, la fracci´on
no es irreducible ya que 4 y 10 no son primos entre s´ı. De hecho la
10
4
2
fracci´on irreducible equivalente a
es .
10
5

Comparaci´
on de fracciones
Dadas dosfracciones

a c
y , se dice que
b d
c
a
≤
b
d
a
c
≥
b
d

si

a·d≤b·c

si

a · d ≥ b · c.

An´alogas definiciones se tienen para el caso en que las desigualdades son estrictas. As´ı,
4
2
< ya que 2 · 9 < 5 · 4.
5
9
Cuando se trata de ordenar en orden creciente o decreciente una serie de n´
umeros racionales lo m´as efectivo es expresar dichos n´
umeros racionales mediantefracciones con igual
denominador y a continuaci´on comparar los numeradores. Veamos el siguiente ejemplo.

Ejemplo 1.2 Ordenar en orden creciente las fracciones:
1
,
2

3
,
4

7
− ,
9

5
12

y

13
.
30

En primer lugar calculamos el m´ınimo com´
un m´
ultiplo de los denominadores. Para ello,

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UNIDAD I. A modo de repaso. Preliminares

observemos que
2 = 2
4 = 229 = 32
12 = 22 · 3

30 = 2 · 3 · 5.
As´ı, el m´ınimo com´
un m´
ultiplo, que sabemos se obtiene como el producto de los factores
comunes y no comunes con el mayor exponente, es 22 ·32 ·5 = 180. A continuaci´on expresamos

las fracciones consideradas mediante fracciones equivalentes con denominador 180. Entonces
1
90
=
,
2
180

3
135
=
,
4
180

7
140
− =−
,
9
180...