matematicas

BLOQUE 3

tiempocontinuo
E.D.O. Y S.E.D.O.

1. introducción

Ecuaciones diferenciales ordinarias (E.D.O.)
El problema básico (Mat. I)

dy
 f(t) t  I  ¡
Hallar y  y(t) de manera quey ' 
dt
 F(t) es primitiva de f(t) si F'(t)  f(t) t  I
 Si F(t)es primitiva de f(t)
entonces F(t)  C es también primitiva de f(t)
 Dos primitivas F(t) y G(t) de una misma f(t) sediferencian
en una constante: F(t)  G(t)  C (Teorema F. del C.I.)



 Se llama Integral indefinida f(t) dt de f(t)
al conjunto de todas las primitivas de f(t)

f(t)
dt

F(t)

C

y F(t)  C

F'(t)  f(t)

es una familia de curvas
dependientes de un parámetro

 Las curvas de la familia y  F(t)  C son paralelas: Para cada t tienen
la misma pendiente

 Por cada puntopasa una y sólamente una de las curvas

dy
Diremos que y '   f(t) es una Ecuación Diferencial Ordinaria
dt

y   f(t) dt  F(t)  C se llama solución general de la EDO
Para cada (t, y(t))(es decir para cada valor particular de la constante C)
tendremos una solución particular de la EDO
Cuando para t = 0 conocemos y(0): Problema del valor inicial (PVI)

EJEMPLO:

Un poco más engeneral:

F(y,y ',t)  0
es una ecuación diferencial ordinaria de primer orden:
Relaciona: La variable tiempo, la función incógnita
y su derivada primera

y '  f(t,y)
Explícita
EJEMPLOS:y '  f(y)
Explícita y autónoma

y '  f(t)

Caso básico

En general:
Se llama ecuación diferencial ordinaria de orden n
a toda ecuación del tipo

F(t,y,y ',y '',y ''',K ,y )  0
(n)que relaciona la variable independiente t (tiempo) con
una función desconocida y(t) de t y con sus derivadas
sucesivas hasta el orden n
 

EJEMPLOS:

Solución y tipos de soluciones:

F(t,y,y',y '',y ''',K ,y )  0
(n)

(n)
²
²
²
²
F(t,y(t),y '(t),y ''(t),K ,y (t))  0

Solución general: p constantes arbitrarias
Soluciones particulares
Problema de los valores iniciales...