matematicas

AL

2015

Estructuras Algebraicas
Definición de operación binaria

Operaciones como la suma, resta, multiplicación o división de números son consideradas operaciones binarias, ya que
asocian a un par de números con un resultado. En general, una operación binaria tiene dos características esenciales:



Se aplica a un par de elementos con una naturaleza determinada.
Asocia a dichopar con otro único elemento de la misma naturaleza determinada; la asociación se realiza por medio
de un criterio definido.

Una operación binaria (∗) definida en un conjunto 𝑆 no vacío es una función 𝑓: 𝑆 × 𝑆 → 𝑆 que relaciona un par de
elementos 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑆 con una imagen 𝑎 ∗ 𝑏 = 𝑐 ∈ 𝑆.

EJEMPLO 7.1. Si se considera al conjunto de los números racionales y la suma, se tendrá que dicha operaciónasocia a un
𝑎 𝑐

par de números racionales otro único número racional; es decir, para el par de números racionales �𝑏 , 𝑑�, existe un

único número denotado como
números racionales es

𝑎
𝑏

+

𝑐
𝑑

que se conoce como la suma de

𝑎
𝑏

𝑐
𝑑

y . El criterio para obtener la suma de dos

𝑎 𝑐 𝑎𝑑 + 𝑏𝑐
+ =
𝑏𝑑
𝑏 𝑑

Además de las operaciones tradicionales, es posible expresarotras operaciones binarias.
EJEMPLO 7.2. La tabla 7.1 especifica la operación binaria AND, que establece una operación lógica utilizada en la
electrónica y la computación
^

0
1

0

1

0

0

0

Tabla 7.1. Operación AND.

1

En este caso, el criterio que se establece para realizar la operación es la misma tabla, y el conjunto sobre el cual se aplica
es {0, 1}; en este casose tendría:
0·1=0

1·1=1

1·0=0

0·0=0

Las operaciones binarias también pueden definirse por medio de reglas de correspondencia, y haciendo uso de las
operaciones binarias tradicionales.
EJEMPLO 7.3. Sea la siguiente operación binaria

1

Ing. Aldo Jiménez Arteaga

𝑥 ‡ 𝑦 = 𝑥 𝑦 ∀ 𝑥, 𝑦 ∈ ℤ

AL

2015

Se puede obtener un resultado para la pareja (−1, 6):

−1 ‡ 6 = (−1)6cuyo resultado es 1.

Propiedades de las operaciones binarias
Cuando un conjunto tiene definida una operación binaria se puede formar un sistema algebraico que posee una
estructura definida, la cual está ligada a las diferentes propiedades que posea la operación binaria.
Los niveles y diferentes tipos de estructuras algebraicas están sujetos a la naturaleza de las propiedades que se cumplenpara una operación en un conjunto dado. Así, las estructuras de grupo, anillo y campo se diferencian por el número de
operaciones y las propiedades que éstas cumplen en un conjunto numérico dado.
La primera de estas propiedades es inherente al concepto de operación binaria: a cada par de elementos de cierta
naturaleza se le asigna un resultado de ésa misma naturaleza.
EJEMPLO 7.4. Si se aplicala suma a los números naturales, el resultado será otro número natural:
𝑚+𝑛 = 𝑝

∀ 𝑚, 𝑛, 𝑝 ∈ ℕ

Si se tuviesen los números naturales 3 y 4, el resultado de su suma es 7, otro número natural.
Esto quiere decir que una operación binaria es cerrada; o sea, una operación definida en un conjunto S da como
resultado un elemento de ese conjunto S.
Cerradura
Si el resultado de aplicar unaoperación binaria (∗) está definido en un conjunto 𝑆, entonces se dice que 𝑆 es cerrado
con respecto a dicha operación binaria; es decir,
𝑎 ∗ 𝑏 ∈ 𝑆,

∀ 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑆

EJEMPLO 7.5. Sea la operación binaria 𝑥 ‡ 𝑦 = 𝑥 𝑦 ∀ 𝑥, 𝑦 ∈ ℤ. Se obtiene un resultado que puede o no pertenecer a los
números enteros. Si el segundo operando fuese mayor a cero, el resultado es un número entero; por ejemplo, (−2,3)arrojaría el siguiente resultado:
−2 ‡ 3 = (−2)3

que es −8 ∈ ℤ. En cambio si la pareja a operar fuese (3, −2), el resultado sería
1
9

3 ‡ −2 = (3)−2

que es el número fraccionario ∉ ℤ, ya que es un número racional; por lo tanto, la operación (‡) no es cerrada para el
conjunto de los números enteros.

Existen casos más claros que permiten establecer la cerradura de una operación binaria;...