Matematicas

Sistemas de ecuaciones lineales 2x2
Un sistema de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas o simplemente, sistema 2x2 de ecuaciones lineales, es la agrupación de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas:


Se llama solución de un sistema 2x2, a cualquier pareja de valores de x e y que sea solución de ambas ecuaciones a la vez. Las soluciones de este tipo desistemas son los puntos de corte de las rectas que representan cada una de las ecuaciones del sistema.
Ejemplo: Solución de un sistema de ecuaciones

Comprueba si las parejas de números ; son o no soluciones del sistema:


Sustituimos los valores en las dos ecuaciones del sistema:


Como no se verifican las dos ecuaciones, la pareja no es solución del sistema.Sustituimos los valores en las dos ecuaciones del sistema:



Ahora si se verifican las dos ecuaciones, por tanto, la pareja si es solución del sistema.
Comprueba en la siguiente escena la solución del sistema. para ello deberás introducir los coeficientes de cada ecuación en las casillas correspondientes.

Vamos a ver cuatro métodos para resolver un sistema de ecuaciones:sustitución, Cramer, Gráficos y reducción.
MÉTODO DE ELIMINACIÓN O REDUCCIÓN.

Como su nombre lo indica, debemos eliminar una de las dos variables ya sea la variable “X” o la variable “Y”. Si vamos a eliminar la variable “X”, el coeficiente de dicha variable de la Ecuación (1) o de la ecuación (2) debe ser el opuesto del coeficiente, de la variable a Eliminar en la ecuación (2) o laecuación (1).

En nuestro ejemplo, si vamos a eliminar la variable “X”, los coeficientes de la variable “X”, en la ecuación (1) es 1 y el coeficiente de la variable “X” en la ecuación (2) es 3, entonces el opuesto de 3 es (- 3) ya que al sumar 3 + ( - 3 ) = 0, entonces para que el coeficiente de la variable “X”, en la ecuación (1) sea (-3), debo multiplicar la ecuación (1) por (-3)queda la ecuación equivalente – 3X – 3Y =
- 15. El sistema de ecuaciones nos quedaría:

- 3X – 3Y = - 15 (1)

3X – 2Y = 2 (2) Sumamos la ecuación uno, con la ecuación dos (1) + (2) y nos da

- 3X + 3X = OX; -3Y – 2Y = 5Y; - 15 + 2 = - 13, expresando nos queda

- 3Y – 2Y = - 13 se reúnen términos semejantes y da - 5Y = - 13, multiplicamos

Ambos miembros por (- 1)y nos queda 5Y = 13 (3), despejamos la variable Y =13
5
.Conocido el valor de la variable “Y”, la puedo remplazar en la ecuación original (1)

ó (2), en nuestro caso lo remplazamos en la ecuación (1) y nos queda X + 13 = 55

de donde X = 5 -13 o sea que X = 12. Luego los valores son: X = 12 y Y = 13
5 5 5 5MÉTODO DE SUSTITUCIÓN:

Como su nombre lo indica, despejamos de la ecuación (1) o (2) cualquiera de las dos variables “X” o “Y” y ese valor lo remplazo en la otra ecuación. En nuestro ejemplo:

X + Y = 5 (1)
3X – 2Y = 2 (2)

1. Despejo la variable “X” de la ecuación (1)
X = 5 – Y (3)2. Este valor despejado lo sustituimos en la ecuación (2)
3(5 – Y) – 2Y = 2

3. Resuelvo esta ecuación:
15 - 3Y – 2Y = 2
- 5Y = - 13

Este valor lo remplazo en la ecuación (3)

Luego los valores que satisfacen el sistema son: X = 12 y Y = 13
5 5...