Matematicas

´ ´ Algebra y Calculo ´ Primero de Ciencias de la Alimentacion Hoja 8

Curso 2012-2013.

1. Realiza las siguientes multiplicaciones de matrices:


1 2 1 3 −1 5 2 −2

   

3 2 0 1 −1 −2 0 3 −1 2 −1 5

   ; 

    

1 2 −1 5 0 −1 −1 −3

    

3 2 0 7 −3 1 −1 −2 1 −3

.

2. Calcula la matriz a b c d tal que: a b c d 3 2 0 −2 1 4 = 5 1 −4 4 5 4 .

3.Determina si la matriz A tiene inversa (si existe inversa, es otra matriz A−1 tal que A · A−1 = I, la matriz identidad) en los casos siguientes: (a) A =


2 4 −3 −5


2 4 −2  2  (b) A =  −3 −5  −1 −2 1 4. Las hembras de una poblaci´n se clasifican en dos grupos de edad (hembras j´venes o o y hembras adultas). La matriz de transici´n que describe la evoluci´n de esta o o poblaci´n es lasiguiente: o 2 4 L= 0, 11 0 (a) Si inicialmente hay 100 hembras de cada clase, ¿cu´ntas habr´ en el siguiente a a per´ ıodo de tiempo? (b) A largo plazo, ¿cu´l ser´ la tasa de variaci´n de cada uno de los grupos? ¿Se a a o extinguir´ la poblaci´n? a o (c) A largo plazo, ¿cu´l ser´ la proporci´n de hembras j´venes y adultas? a a o o

5. En cierta especie animal, las hembras se clasifican en juveniles(hasta 1 a˜o de edad) n y adultas (de 1 a 2 a˜os de edad). n Solamente el 40% de las hembras j´venes sobreviven cada a˜o y pasan a adultas. o n Todav´ no tienen capacidad de reproducci´n. ıa o Las hembras adultas no sobreviven al a˜o siguiente, y tienen una descendencia media n de 1,6 hembras cada a˜o. n (a) Construye la matriz correspondiente a este modelo de evoluci´n. o (b) Calcula la tasa decrecimiento o decrecimiento a largo plazo. (c) Calcula la proporci´n aproximada de hembras j´venes que formar´n parte de la o o a poblaci´n a largo plazo. o 6. En una granja de cr´ de cerdos, los animales son clasificados seg´n sus edades de ıa u la siguiente forma: - Cochinillos: De 0 a 1 a˜o. n - Lechones: De 1 a 2 a˜os. n - J´venes: De 2 a 3 a˜os. o n - Adultos: De 3 a 4 a˜os. n El procedimientode gesti´n de las hembras de la granja es el siguiente: o - Se sacrifica al 60% de las que van naciendo para su consumo como cochinillos. - Se sacrifica para su consumo a todas las hembras cuando llegan a los 4 a˜os. n No se sacrifica a ninguna de las dem´s, y se supone que ning´n animal muere a u por otras causas. - Se dedica a todas las hembras j´venes y adultas a la cr´ Se sabe que, en o ıa.media, cada hembra joven tendr´ 0,5 camadas de 5 cochinillos, cada hembra a adulta tendr´ 0,8 camadas de 5 cochinillos, y que el 50% de todos los nuevos a nacidos ser´n hembras. a Formula el modelo apropiado para describir la evoluci´n de la poblaci´n. o o

7. La poblaci´n de cierta especie de animales en un bosque est´ dividida en dos grupos o a de edad (j´venes y adultos). La correspondientematriz de Leslie es: o A= 1 3/2 1/2 0

a) Interpreta el significado de cada uno de los elementos de la matriz anterior. b) Calcula el autovalor dominante de A y un autovector asociado. c) Sea X(k) el n´mero de animales de cada grupo en la etapa k. Si en la etapa u 0 hay unicamente 10 animales j´venes en el bosque, calcula X(1), X(2), X(3) ´ o y X(4). A partir de X(4) calcula la proporci´n exacta deindividuos de cada o grupo respecto al total de la poblaci´n en la etapa 4. o d) Calcula la misma proporci´n de forma aproximada mediante el autovector asoo ciado al autovalor dominante, y compara el resultado obtenido en este apartado con el del apartado anterior. 8. Supongamos que A= 0.8 1 0.6 0

es la matriz de transici´n de una poblaci´n de venados hembras, dividida para su o o estudio enj´venes y adultas. o a) Demostrar que, a la larga, el tama˜o de la poblaci´n se multiplicar´ por un n o a factor aproximado de 1.27 (es decir, crecer´ un 27%) cada generaci´n. a o b) Los granjeros y otras personas del ´rea no quieren que la poblaci´n crezca, a o y deciden poner en marcha una caza controlada. Si se decide cazar una proporci´n h de los venados j´venes antes de que pasen a adultos,...