Matematicas

MATRICES Y DETERMINANTES.
INTRODUCCIÓN.
Las matrices aparecieron por primera vez hacia el año 1.850 introducidas por el inglés
James Joseph Silverton. El desarrollo de la teoría se debe al matemático y astrónomo irlandés
Hamilton en 1.853 y al inglés Cayley. Este último introdujo la notación matricial para un sistema
lineal de ecuaciones.
Además de su utilidad para estudiar sistemasaparecen de forma natural en geometría,
estadística, economía, etc.
La utilización de las matrices constituye una parte esencial en los lenguajes de
programación ya que la mayoría de los datos se introducen en los ordenadores en tablas
organizadas en filas y columnas. La utilización de bases de datos implican el empleo de
operaciones con matrices que estudiaremos en este tema.
DEFINICIÓN DE MATRIZ.TERMINOLOGÍA BÁSICA.
Una MATRIZ es un conjunto de números reales ordenados en filas y columnas de la
forma
 a11

 a 21


a
 m1

()

En forma abreviada se escribe a ij

a12
a 22

am 2






 a1n 

 a2n 
 

 a mn 


mientras que aij representa un elemento cualquiera de la

matriz (el elemento que está en la fila i y la columna j).EJEMPLO.
2
1
4
3


3 4 −1 −13 2 
0
5 2 5 − 2


es una matriz que tiene tres filas y cuatro columnas: m = 3 y n = 4.
Llamamos DIMENSIÓN de una matriz al producto indicado del número de filas por el
número de columnas: m × n y podemos escribir de forma abreviada Am× n = ( aij )
En el ejemplo anterior, la dimensión es 3 × 4.
IGUALDAD DE MATRICES.
Dos matrices son iguales cuandotienen la misma dimensión y los elementos que
ocupan igual posición son iguales.
 dim( A) = dim( B )
A= B ⇔

 a ij = bij
MATRICES Y DETERMINANTES

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EJEMPLO.
 2 3 1
 a 3 b
Las matrices A = 
 y B= 

 x 1 2
 4 c 2

serán iguales si a = 2, b = 1, x = 4 y

c = 1.
TIPOS DE MATRICES.
Dependiendo de la forma que tengan las matrices o como son sus elementos, podemosdistinguir algunos tipos particulares de matrices:






MATRIZ FILA es aquella que tiene una sola fila:

( a11

a12

a13  a1n )

 a11 


 a 21 
MATRIZ COLUMNA es aquella que tiene una sola columna:  a 31 


 


 a m1 
MATRIZ CUADRADA es la que tiene igual número de filas que de columnas:
 a11 a12   a1n 


 a 21 a 22   a 2 n 
    


 a n1 a n 2   a nn 
En caso contrario se llama RECTANGULAR:
 a11

 a 21


 a m1

a12
a 22

a m2






 a1n 

 a2n 
 

 a mn 

En una matriz cuadrada, el conjunto formado por los elementos aii se llama
DIAGONAL PRINCIPAL y el conjunto de los elementos aij tal que i + j = n + 1, se
llama DIAGONAL SECUNDARIA.
 a11

Θ


Θ

Θ
Θ  Θ

a 22 Θ  Θ 
   

Θ
Θ  a nn 


Diagonal PRINCIPAL



Θ
Θ

Θ  a 2,n − 1
Θ
   

a
 n1 Θ  

a1n 

Θ


Θ


Diagonal SECUNDARIA

MATRIZ TRASPUESTA.
Dada una matriz A se llama traspuesta de A y se representa por A t , a la matriz que se
obtiene de A cambiando filas por columnas o viceversa.

MATRICES Y DETERMINANTES15

Ejemplo:

Si

 3 − 2 1
A= 

 − 1 5 7

⇒

 3 − 1


At =  − 2 5 


 1 7

Es evidente que si A es de dimensión m × n, A t es de dimensión n × m.


MATRIZ NULA. Es aquella en la que todos sus elementos son nulos. También se llama
matriz cero y se representa por 0.
Para matrices cuadradas:

•

MATRIZ DIAGONAL es aquella que tiene todos sus elementosnulos salvo los de la
diagonal principal.
 a11 0  0 


 0 a 22  0 
    


0
0  a nn 



•

MATRIZ ESCALAR es una matriz diagonal en la que todos los elementos de la diagonal
principal son iguales.
 a 0  0


 0 a  0
    


 0 0  a



•

MATRIZ UNIDAD o IDENTIDAD es una matriz escalar con los elementos de la diagonal...