Matematicas

Integrales

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Ejercicio 20.f
02-2x-x22x-x24-2x4-x2-y2dzdydx

I= 02-2x-x22x-x24-2x4-x2-y2dzdydx

I=02-2x-x22x-x24-x2-y2-4+2x dydx

I=02(4y-x2y-y33-y(4-2x) )2x-x2-2x-x2dydxI=02(4-x2-2x-x23-(4-2x))2x-x2 dx

I=2302(4x-2x2)-x2-2xdx

I=4302(2x-x2)1-(x-1)2dx=43021-(x-1)232dx

x-1=senθ →dx=cosθ ;1-x-1=cos2θ
x=0 →-1=senθ ; θ=-π2;x=2→1=senθ; θ=-π2I=43-π2π2sen2θcos2θcosθdθ= 43-π2π2sen2θcos2θdθ

I=43-π2π21-cos2θ21+cos2θ2dθ= 43-π2π21-cos22θ4dθ

I=13-π2π2sen2θdθ= 13-π2π21-cos24θ2dθ= 16θ-sen4θ4 π2-π2

I=16π2+π2=π6 (RESPUESTA)

Ejercicio 20.e0x0203xyy2+z2dzdydx
121203xLny2+z2x0dzdx
121203xLnx2+z2-Lnx2dzdx

Integrando por partes:
u=Lnx2+z2 du=2zdzx2+z2
v=dz=z

Remplazando en la ecuación:1212zLnx2+z2-2zLnx3x0-1203x2z2x2+z2dz
12123xLnx2+3x2-23xLnx-1203x2z2x2+z2dz
12123xLn4-1203x2(z2+x2-x2)x2+z2dz
12123xLn4-2x203xdz+2x203xdzx2+z2

3x2Ln421-12022x23xdx+02xarctagzx3x0dx
34-1Ln4-3x402x3dx+12xarctag3dx334Ln4-34x421+πx2621
334Ln4-1534+π2










Ejercicio 20.d

02x2x1-x2-y22xyzx2+y2+z2dzdydx
121012xLnx2+y2+z22xy1-x2-y2dydx
120102xLnx2+y2+2xy-Lnx2+y2+1-x2-y2dydx120102xLnx+y2-Ln1dydx
120102xLnx+y2dydx

Integrando por partes:
u=Lnx+y du=dyx+y
v=dy=y

Remplazando en la ecuación:

01yLnx+y2xx-02xydyx+ydx012xLnx+2x-xLnx+x-02xy+x-xx+ydx
12[xLn9x2-02xdy+xx2xdyx+y]dx
12[xLn9x2-y2xx+xLn(x+y)2xx]dx
12[xLn9x2-2x+x+xLn3x-xLn(2x)]dx
12[xLn27x4-x]dx

Integrando por partes:
u=Ln27x4 du=dxx
v=xdx=x22Remplazando en la ecuación:
x22Ln27x421-12x2dx2x-x2221
2Ln272-12Ln272-x2421-2+12
2Ln272-12Ln272-1+14-2+12Ln8132-94
12Ln27381316-5



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Ejercicio 26

131313(x+y+z)dxdydz1≤x≤31≤y≤31≤z≤3
1313x2+yx+zx31dydz

131392+3y+3z-12+y+zdydz
131392+3y+3z-12-y-zdydz
1313(4+2y+2z)dydz
134y+y2+2zy31dz
13(12+9+6z)-(4+1+2z)dz
13(12+9+6z-4-1-2z)dz
1316+4zdz
16z+2z231...