Matematicas

TRABAJO DE MATES
f(x)=x2+42x-3
DOMINIO
Al ser una función racional su dominio será R menos los números que anulen el denominador por tanto:
Df=x∈R2x-3≠0=R-32
2x-3=0;x=32
PUNTOS DE CORTE CONLOS EJES
Para saber los puntos de corte con el eje OYx=0
y=x2+42x-3⇛y=02+420-3=-43 El punto de corte con el eje OY será E0,-43
Para saber los puntos de corte con el eje OXy=00=x2+42x-3⇛x2+4=0⇛x=-4 EL pto de corte con el eje OX no existe.
ASÍNTOTAS
Asíntota vertical
Para encontrar la asíntota vertical, hallaremos el límite de f(x) cuando x “tiende” a losnúmeros no incluidos en el Dominio.
limx→32fx=limx→32x2+42x-3=limx→32322+40=-∞
Al ser el resultado -∞ sabemos que en x=32 existe una asíntota vertical.
Asíntota horizontal
Para encontrar la asíntotahorizontal, tenemos que resolver el limite de f(x) cuando x “tiende” a ∞.
limx→∞fx=limx→∞x2+42x-3=limx→∞x2+4x22x-3x2=limx→∞10=∞
Debido a que el resultado del lim es ∞ podemos decir que f(x) nopresenta asíntotas horizontales.
Asíntota oblicua
Esta asíntota viene dada por la recta y=mx+n, donde:
m=limx→∞f(x)x=limx→∞x2+42x-3x=limx→∞x2+42x2-3x=12n=limx→∞fx-mx=limx→∞x2+42x-3-x2=limx→∞x2+4-x2+3x22x-32=limx→∞3x2+42x-3=34
Teniendo m y n, sustituimos en la recta de la asíntota oblicua y obtenemos: y=x2+34
MONOTONÍA
Para poder analizar la monotonía de una función primero tenemos que estudiar lacontinuidad y la derivabilidad de f(x). Esta función en concreto es de tipo racional luego va a ser continua en R menos los valores que anulen al denominador por tanto, f(x) es continua en R-32, además alestar formada por dos polinomios por lo cual va ha ser derivable en todo su dominio.
Según la condición necesaria, la cual utilizamos para identificar los puntos en los cuales se produce un cambio en lamonotonía de la función. En esta condición utilizaremos el Teorema de Fermat.
f'x=2x2x-3-2(x2+4)(2x-3)2=4x2-6x-2x2-8(2x-3)2=2x2-6x-8(2x-3)2
Tras obtener f’(x) tenemos que igualarla a...