Matematicas

TEMA 0

1 - CONJUNTOS

Un conjunto es una agrupación, clase o colección de objetos denominados elementos del conjunto. Por objeto entenderemos no sólo entes físicos, como mesas, sillas, etc.,sino también entes abstractos, como son números, letras, etc.

[pic] [pic]

Los conjuntos se construyen a partir del Principio de Inducción:

Para los números naturales:

[pic]Supongamos que nos preguntemos si todos los números naturales tienen una propiedad que llamaremos [pic], de la que sabemos dos cosas:
• Enunciado 1: El número uno posee la propiedad [pic].• Enunciado 2: Si un número posee la propiedad [pic], el siguiente número también la posee. Es decir, si n tiene la propiedad [pic], entonces n + 1 también.
Principio de inducción: Si los enunciados 1y 2 son verdaderos, entonces todos los números naturales tienen la propiedad [pic].
Por ejemplo, para cualquier número natural n, la suma de todos los números desde 1 hasta n es:
[pic]
Parademostrar que esto es verdad para cualquier número natural, basta con demostrar que para [pic] los enunciados 1 y 2 son verdad. El primer enunciado se cumple, ya que la suma desde 1 hasta 1 essimplemente 1. En efecto, sustituyendo en la fórmula anterior n = 1 obtenemos:
[pic]
Ahora que sabemos que el enunciado 1 se cumple, nos ocupamos de demostrar que se cumple el enunciado 2:
La suma desde1 hasta el número siguiente será:
[pic]
Si ahora suponemos que el número n tiene la propiedad [pic] y operamos un poco con el miembro de la derecha, obtenemos idéntico resultado que sustituyendo npor n + 1 en la fórmula de la suma de Gauss:
[pic]
Por lo tanto, si la fórmula se cumple para n, entonces también se cumple para n + 1 (sea lo que sea n).
Además del conjunto de los númerosnaturales, otros ejemplos de conjuntos son:
Números enteros:
[pic]
Números racionales:
[pic]
Números reales:
[pic]
NÚMEROS COMPLEJOS:
[pic]

- Operaciones con números complejos:...