Matematicas

“Acudamos a la experiencia espiritual de Don Bosco, para caminar en santidad según nuestra vocación
específica”

GUÍA DE ESTUDIO:
MATEMÁTICA
Maestro Jonathan Martínez
Nombre del Alumno:

Curso: 3º ___

FUNCIÓN CUADRÁTICA (ECUACIÓN DE 2° GRADO)
FUNCIONES CUADRÁTICAS

La forma general de una función cuadrática es

f  x  ax 2  bx  c

.

El dominio de las funciones cuadráticas es el conjunto detodos los reales, y el
contradominio es el subconjunto de los reales que va desde el vértice hasta más infinito
o menos infinito, dependiendo de que la parábola abra hacia arriba o hacia abajo.
El exponente más grande es 2. La representación gráfica de estas funciones, es una
curva denominada parábola (de la familia de las cónicas ), que tienen alguna de las
siguientes formas:

El valor de laconstante a (el coeficiente de x2 ) es el que determina si la gráfica abre
hacia arriba o hacia abajo. Cuando
a > 0 , la parábola abre hacia arriba. Sin
embargo, si a < 0, la parábola abre hacia abajo.
Estas gráficas tienen un punto máximo o mínimo dependiendo de si abren hacia abajo o
hacia arriba, respectivamente. Este punto recibe el nombre de vértice. La coordenada
x del vértice está dada por lasiguiente expresión, que se justifica mas adelante:

Vx 

b
2a

Y la coordenada y se puede obtener sustituyendo en la función misma.
Ejemplo 1.

f  x   x 2  4 x  3

Sea
.
Una representación tabular de esta función es la siguiente:
x
-1
0
1
2
3
4
5

f(x)
-8
-3
0
1
0
-3
-8

“Acudamos a la experiencia espiritual de Don Bosco, para caminar en santidad según nuestra vocación
específica”

Eneste caso las constantes son: a = -1, b = 4, c = -3. Esta parábola abre hacia
abajo dado que a  1 ; su vértice es el punto máximo, cuya coordenada x es:

Vx 

b
4
4

 2
2a
2   1  2

En la representación tabular vemos que a este valor de x le corresponde
2

f  2    2   4  2   3 
 4  8  3 1
Por lo que el vértice de la parábola es el punto (2, 1).
Al igual que en la recta,el término independiente indica el punto donde la parábola
intersecta al eje y. En esta función es el punto (0,-3).
La representación gráfica de esta función, obtenida de la tabla es:

El dominio de esta función es (  ,  ) y el contradominio es (  , 1] .
Como se puede ver en la figura, esta parábola cruza el eje x en dos puntos, esto es,
tiene dos raíces. Al igual que con la función lineal,para encontrar las raíces se resuelve
la ecuación f ( x) 0 :

f  x   x 2  4 x  3
0  x 2  4 x  3
A diferencia de las funciones lineales, no se puede despejar directamente; por lo tanto,
se factoriza cuando es posible, o se utiliza la fórmula general comúnmente llamada
chicharronera:

 b  b 2  4ac
x
2a
x

4

 4

2

 4   1   3

2   1

En este caso:




 4  16  12
 42 



2
2




42
1
2
4 2
3
2

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específica”

Las

raíces

son

2

x

=

1

y

2

b  4ac (4)  4( 1)( 3) 16  12  4  0 ,

x = 3.
Note que
conocido como discriminante, en este

caso es positivo.
Ejemplo 2.

f  x   x 2  16

Sea la función
, hallar sus raíces.
Hay por lomenos tres alternativas para obtener las raíces:
En un primer caso, se puede factorizar como
las raíces se iguala a cero

f  x   x  4   x  4 

.

Para encontrar

 x  4   x  4  0
lo que se cumple sólo cuando x = 4 y x = -4.
Como en esta función la constante b = 0 , una segunda opción es despejar:

x 2  16 0
x 2 16
x  16 4
Finalmente, siempre se puede recurrir a la fórmulageneral:

x

 0  02  4  1   16 
2  1



 64
4
2

.

Ejemplo 3.
Sea

f  x  x2  6 x  9

Observe que
puede escribir

. Encontrar sus raíces y graficar.

2

x  6 x  9 es un trinomio cuadrado perfecto, por lo que la función se
2
f  x   x  3
.

Para encontrar las raíces igualamos a cero y resolvemos:
2

 x  3  0
 x  3 ( x  3) 0
Esto se cumple sólo cuando x  3 . Existe...