Matematicas

CONJUNTOS NUMÉRICOS

Recapituló CARLOS VILLA, Colaboró: JUÁN GULLERMO ARANGO, Revisó: MARIO GAMA docentes auxiliares del ITM

Números Naturales
El conjunto de los Números Naturales se formalizo para dar respuesta a la necesidad de contar en una base generalizada, la base 10.
Con los dígitos se forma cualquier número natural.

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N =Conjunto de los Números Naturales
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N = {0,1, 2, 3,..., }

El conjunto de los números naturales se caracteriza por:

1. Tener término inicial (cero)…Empieza con el uno.
2. Tiene siguiente y anterior excepto el cero….

Operaciones

Adición y multiplicación

Propiedad distributivadel producto con respecto a la adición o sustracción:

La multiplicación de un número natural por una adición es igual a la adición de las multiplicaciones de dicho número natural por cada uno de los sumandos.

a · (b + c) = a · b + a · c a · (b - c) = a · b - a · c

Criterios de Divisibilidad
Para saber si un número es divisible por otro no siempre es necesario hacer la división.
Unnúmero es divisible por:
2 : Si su último digito es par o cero
3 : Si la suma de sus dígitos es divisible por tres
6: Si es divisible por 2 y por 3.
5 : Su último digito es 0 o 5.
10: Su último digito es 0.

Queda para investigar los criterios por 7 y por 11.

TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA ARITMÉTICA
Todo entero positivo se puede representar de forma única como producto de factoresprimos excepto por el orden.
Ejemplo,
20808 = 23 · 32 · 172
3600 = 24 · 32 · 52

Números primos:

Se denomina número primo a todo número natural diferente de uno, cuyos únicos divisores POSITIVOS son él y la unidad; los números que no son primos se denominan compuestos. El estudio de los números primos, como sub conjunto de los naturales, han formado desde épocas remotas una ramaespecial de las matemáticas, no sólo interesante como un juego matemático, sino también por sus implicaciones científicas. Los números primos menores que 100 son los siguientes: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 y 97.

MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO
El mínimo común múltiplo (“m.c.m.” o “mcm”) de dos o más números naturales es el menor número natural(distinto de cero) que es múltiplo de todos ellos.
Para el cálculo se descompondrán los números en factores primos y se tomarán los factores comunes y no comunes con su mayor exponente.
Cálculo del m.c.m.
1. Descomponer los números en factores primos.
2. Para cada factor común, elegir entre todas las descomposiciones aquel factor con mayor exponente.
3. Multiplicar todos losfactores elegidos.
Manera teórica del cálculo del Mínimo Común Múltiplo (mcm)
La teoría es la siguiente:
- Factores comunes y no comunes elevados al mayor exponente.
Ejemplo: m.c.m. de 24, 36 y 40
1. Descomponemos los números en factores primos.

2. Para cada factor común, elegir entre todas las descomposiciones aquel factor con mayor exponente.

El factor con base 2 escomún para todos…y los factores con base 3 y 5 no son comunes para ellos.
Los factores que van a formar el m.cm serían: 23, 32, 5
3. Multiplicar todos los factores elegidos.

Luego 360 es el menor múltiplo de 24, 12 y 36 que es divisible exactamente por cualquiera de ellos.

Ejemplo, de las factorizaciones de 20808 y 3600:
20808 = 23 · 32 · 172
3600 = 24 · 32 · 52
Podemos inferir quesu m.c.m es 24 · 32· 52 · 172 = 1040400
Por tanto, 1040400 es el menor múltiplo de 20808 y de 20808 que es divisible exactamente por cualquiera de ellos.
También se puede utilizar el método abreviado:
Hallar el m.cm. entre 30, 60, y 90 por el método abreviado.

Solución: 30 60 190 2
15 30 95 2
15 15 95 3
5 5 5 5
1 1 19...