Matematicas

Determinación
Cuando estudiamos el problema del área y el problema de la distancia analizamos que tanto el valor del área debajo de la gráfica de una función como la distancia recorrida por un objeto se puede calcular aproximadamente por medio de sumas o bien exactamente como el límite de una suma.
[F(x0) + f(x1) + f(x2) +……………………… + f (en–1)]  X  
(Se utiliza el valor de la función en elextremo izquierdo de cada subintervalo)
 [F(x1) + f(x2) + f(x3) +……………………… + f (en)]  X 
(Se utiliza el valor de la función en el extremo derecho de cada su intervalo)
 [F (t1) + f (t2) + f (t3) +……………………… + f (tan)]  X  
(Se utiliza el valor de la función en cualquier punto de cada su intervalo)
Este tipo de límites aparece en una gran variedad de situaciones incluso cuando f no es necesariamenteuna función positiva. Teniendo en cuenta lo expresado surge la necesidad de dar un nombre y una notación a este tipo de límites.
Definición 1: Si f es una función continua sobre el intervalo [a, b], entonces la integral definida de f de a a b, que se indica es el número:
 [f(x0) + f(x1) + f(x2) +……………………… + f (en–1)]  x o bien
 Donde x0 = a, en = b y  x .
(La función se evalúa en el extremoizquierdo de cada su intervalo [xi1, xi] con i = 1,.., n)
Definición 2: Si f es una función continua sobre el intervalo [a, b], entonces la integral definida de f de a a b, que se indica es el número:
[f(x1) + f(x2) + f(x3) +……………………… + f (en)]  x
 Donde x0  a, en  b y  x .
(La función se evalúa en el extremo derecho de cada su intervalo [xi1, xi] con i  1,.., n)
Definición 3: Si f esuna función continua sobre el intervalo [a, b], entonces la integral definida de f de a a b, que se indica es el número:
 [f (t1) + f (t2) + f (t3) +……………………… + f (tan)]  x
 Donde x0  a, en  b y  x .
(La función se evalúa en cualquier punto ti de cada su intervalo [xi1, xi] con i  1,.., n)
El número a es el límite inferior de integración y el número b es el límite superior de integración.Notación y terminología:

Cuando se calcula el valor de la integral definida se dice que se e valúa la integral.
La continuidad asegura que los límites en las tres definiciones existen y dan el mismo valor por eso podemos asegurar que el valor de  es el mismo independientemente de cómo elijamos los valores de x para evaluar la función (extremo derecho, extremo izquierdo o cualquier punto en cadasu intervalo). Enunciamos entonces una definición más general.
Definición de integral definida: Sea f una función continua definida para a  x  b. Dividimos el intervalo [a, b] en n su intervalos de igual ancho  x . Sean x0  a y en  b y además x0, x1,...., en los puntos extremos de cada su intervalo. Elegimos un punto ti en estos su intervalos de modo tal que ti se encuentra en el i-pésimo suintervalo [xi1, xi] con i  1,.., n.
Entonces la integral definida de f de a a b es el número .
La integral definida es un número que no depende de x. Se puede utilizar cualquier letra en lugar de x sin que cambie el valor de la integral.
Aunque esta definición básicamente tiene su motivación en el problema de cálculo de áreas, se aplica para muchas otras situaciones. La definición de laintegral definida es válida aun cuando f(x) tome valores negativos (es decir cuando la gráfica se encuentre debajo del eje x). Sin embargo, en este caso el número resultante no es el área entre la gráfica y el eje x.
Observación: La suma  que aparece en la definición de integral definida se llama suma de Reman en honor al matemático alemán Bernarda Reman. Su definición incluía además sus intervalos dedistinta longitud.
Definición de las sumas de Reman: Sea f una función definida en el intervalo cerrado [a, b] y sea una división (partición) arbitraria de dicho intervalo a  x0  x1  x2  x3 .........  xn1  en  b donde  xi indica la amplitud o longitud del i-pésimo su intervalo. Si times cualquier punto del i-pésimo su intervalo la suma, xi1  ti  xi se llama suma de Reman de f asociada...