Matematicas

LÍMITES Y CONTINUIDAD
LÍMITES Y CONTINUIDAD

La Teoría de los Límites marca el primer punto de cálculo. Unas u otras formas de límites se utilizan para transmitir todos y cada uno de los conceptos en el cálculo.
En matemática, el límite es un concepto que describe la tendencia de una sucesión o una función, a medida que los parámetros de esa sucesión o función se acercan a determinado valor.En cálculo (especialmente en análisis real y matemático) este concepto se utiliza para definir los conceptos fundamentales de convergencia, continuidad, derivación, integración, entre otros.
Para fórmulas, el límite se utiliza usualmente de forma abreviada mediante lim como en lim(an) = a o se representa mediante la flecha (→) como en an → a.

LIMITE DE UNA SUCESIÓN
El límite deuna sucesión particular es generalmente un número o un punto definido L, con la condición que todos los términos de esa sucesión particular estén muy cerca de L para grandes cifras de n. En caso de que el límite esté presente, se dice entonces que la sucesión es convergente y converge en el punto definido L. En el caso complementario, se dice que la sucesión es divergente.
Matemáticamente ladefinición puede ser demostrada suponiendo an} sea la sucesión y l un número real. Si por cada ε › 0 entonces encontramos m N, tal que , n N, es l y se escribe an=l. Esto se lee como: Como n tiende al infinito, tiende a l.
Ademas, si para una sucesión an se podemos encontrar un numero M positivo, tal que, | an | M n N entonces la sucesión { an } se dice que es cerrada.
Similarmente, las sucesionespueden estar creciendo o decreciendo.
La definición de límite matemático para el caso de una sucesión nos indica intuitivamente que los términos de la sucesión se aproximan arbitrariamente a un único número o punto , si existe, para valores grandes de . Esta definición es muy parecida a la definición del límite de una función cuando  tiende a .
Formalmente, se dice que la sucesión  tiende hasta sulímite , o que converge o es convergente (a ), y se denota como:

Este límite, si existe, se puede demostrar que es único. Si los términos de la sucesión no convergen a ningún punto específico, entonces se dice que la sucesión es divergente.
Ejercicios
1.- Demuestra que la sucesión  tiene límite 2. Averigua los términos cuya distancia a 2 es menor que 0.1.

A partir de a41 la distancia a 2será menor que una decima.
2.- Probar que la sucesión  tiene por limite 4 y averiguar cuántos términos de la sucesión están fuera del entorno (4 - 0.001, 4 + 0.001).

Quedan fuera del entorno los mil primeros términos de la sucesión.

Limite de una función de variable real
El límite de la función f(x) en el punto x0, es el valor al que se acercan las imágenes (las y) cuando los originales(las x) se acercan al valor x0. Es decir el valor al que tienden las imágenes cuando los originales tienden a x0. 
Vamos a estudiar el límite de la función f(x) = x2 en el punto x0 = 2.
x | f(x) |
1,9 | 3,61 |
1,99 | 3,9601 |
1,999 | 3,996001 |
... | ... |
↓ | ↓ |
2 | 4 |
x | f(x) |
2,1 | 4.41 |
2,01 | 4,0401 |
2,001 | 4,004001 |
... | ... |
↓ | ↓ |
2 | 4 |
Tanto si nosacercamos a 2 por la izquierda o la derecha las imágenes se acercan a 4.
Se dice que la función f(x) tiene como límite el número L , cuando x tiende a x0, si fijado un número real positivo ε , mayor que cero, existe un numero positivo δ dependiente de ε , tal que, para todos los valores de x distintos de x0 que cumplen la condición |x - x0| < δ , se cumple que |f(x) - L| <ε .

Tambiénpodemos definir el concepto de límite a través de entornos:
 si y sólo si, para cualquier entorno de L que tomemos, por pequeño que sea su radio ε, existe un entorno de x0, Eδ(x0), cuyos elementos (sin contar x0), tienen sus imágenes dentro del entorno de L, Eε(L).
Ejercicios
1.- Calcular el límite de:

*

*
*

2.- calcular el limite de f(x) =
x2 + 8x + 16x+4 cuando x...