Matematicas

P r o p i e d a d c o nm u t a t i va L a p r o p i e d a d c on m u t a t i va d i c e q u e resultado de una operación es el mismo cualquiera que sea el orden de los elementos c o n l o s q u e s e o p er a . P r o p i e d a d c o nm u t a t i va d e l a s um a E l o r d e n d e l o s s u m a n d o s n o va r ía l a suma. a + b = b + a 2 + 5 = 5 + 2 7 = 7 P r o p i e d a d c o nm u t a t i va de l a m u l t i pl i c a c i ó n E l o r d e n d e l o s f a c t o r e s n o va r ía e l p r o d u c t o. a · b = b · a 2 · 5 = 5 · 2 10 = 10 Leyes conmutativas Las "leyes conmutativas" sólo quieren decir que puedes intercambiar los números cuando sumas o cuando multiplicas y la respuesta va a ser la misma. a + a×b=b×a b = b + a

Ejemplos: Puedes intercambiarlos cuando sumas:

3+6=6+3Puedes intercambiarlos cuando multiplicas:

2×4=4×2

Leyes asociativas Las "Leyes asociativas" quieren decir que no importa cómo agrupes los números (o sea, qué calculas primero) cuando sumas o cuando multiplicas. (a + b) (a × b) × c = a × (b × c) Ejemplos: Esto: da el mismo resultado que esto: (2 + 4) + 5 = 6 + 5 = 11 2 + (4 + 5) = 2 + 9 = 11 + c = a + (b + c)

Esto: da el mismo resultado queesto: Usos:

(3 × 4) × 5 = 12 × 5 = 60 3 × (4 × 5) = 3 × 20 = 60

A veces es más fácil sumar o multiplicar si cambiamos el orden: ¿Cuánto es 19 + 36 + 4? 19 + 36 + 4 = 19 + (36 + 4) = 19 + 40 = 59

O si los reordenamos un poco (fíjate que aquí usamos también la ley conmutativa para eso): ¿Cuánto es 2 × 16 × 5? 2 × 16 × 5 = (2 × 5) × 16 = 10 × 16 = 160

Ley distributiva La "leydistributiva" es la MEJOR de todas, pero hay que usarla con mucho cuidado. Quiere decir que la respuesta es la misma cuando:
 

sumas varios números y el resultado lo multiplicas por algo, o haces cada multiplicación por separado y luego sumas los resultados

Así: (a + b) × c = a × c + b × c

Ejemplos: Esto: da el mismo resultado que esto: (2 + 4) × 5 = 6 × 5 = 30 2×5 + 4×5 = 10 + 20 = 30

Esto:da el mismo resultado que esto: Usos:

(6 - 4) × 3 = 2 × 3 = 6 6×3 - 4×3 = 18 - 12 = 6

A veces es más fácil si rompemos una multiplicación difícil: ¿Cuánto es 204 × 6? 204 × 6 = 200×6 + 4×6 = 1,200 + 24 = 1,224

O para combinar: ¿Cuánto es 6 × 16 + 4 × 16? 6 × 16 + 4 × 16 = (6+4) × 16 = 10 × 16 = 160 Resumen Leyes conmutativas:

a + b a×b=b×a

=

b

+

a

Leyes asociativas:

(a+ b) + c = (a × b) × c = a × (b × c) (a + b) × c = a × c + b × c

a

+

(b

+

c)

Ley distributiva:

RACIONALIZACIÓN DE RADICALES Cuando tenemos fracciones con radicales en el denominador conviene obtener fracciones equivalentes pero que no tengan radicales en el denominador. A este proceso es a lo que se llama racionalización de radicales de los denominadores.

Según el tipo deradical o la forma de la expresión que aparece en el denominador, el proceso es diferente.

Se pueden dar varios casos:

1. Si el denominador contiene un solo término formado por una sola raíz cuadrada. En este caso basta multiplicar numerador y denominador por la misma raíz cuadrada.

5 Por ejemplo, si queremos racionalizar el denominador de la fracción 2 , multiplicaremos numerador ydenominador por 2
5 5 2 5 2 5 2    2 2 2. 2 22

2 3 Otro ejemplo. Racionalizar 18
Si antes de racionalizar extraemos los factores que se puedan en el radical del denominador, tenemos:

2 3 2 3 2 3   2 18 3 2 2.3

Ahora basta multiplicar numerador y denominador por denominador:

2 para eliminar la raíz del

2 3 2 3. 2 2 6 6    3.2 3 3 2 3 2 2

También se puede directamentemultiplicar numerador y denominador por

18

2 3 2 3. 18 2 54 54    18 9 18 18. 18

Y ahora extraemos factores de la raíz del numerador y simplificamos.

54 2.33 3 2.3 6    9 9 9 3 , como vemos da el mismo resultado.

2. Si el denominador de la fracción contiene dos términos en uno de los cuales o en los dos hay una raíz cuadrada, se multiplica numerador y denominador por el conjugado...