Matematicas

Desigualdades Cuadráticas

1)
X^2 ≤ 4x + 12.

Datos:(x^2) se demuestra como el cuadrado de x ya

que el sistema no me permite ponerle al
cuadrado a una variable.

Primero despejemos para que un ladode la desigualdad sea cero y factoricemos la
expresión resultante:
x^2 ≤ 4x + 12
x^2 − 4x − 12 ≤ 0
(x + 2)(x − 6) ≤ 0.
Resolvemos la ecuación (x + 2)(x − 6) = 0.

Obtenemos que x + 2 = 0 o x − 6 = 0.Luego x = −2 . x = 6. Ahora construimos el cuadro de variación.

INTERVALOS
X+2
X-6
(X+2)(X-6)

(−∞, −2)
-

+

(−2, 6)
+
-

-

(6,+∞)
+
+

+

Luego determínanos todos los valores de x tales que (x +2)(x − 6) ≤ 0. (x + 2)(x − 6) es menor que
cero en el intervalo
(−2, 6) e igual a cero en x = −2 y en x = 6.
Luego la solución de la desigualdad es el intervalo
F(x) [−2, 6].

2)
4x^2 + 8x ≥ 5.Primero despejemos para que un lado de la desigualdad sea cero y factoricemos la
expresión resultante:
4x^2 + 8x ≥ 5
4x^2 + 8x − 5 ≤ 0
(2x + 5)(2x − 1) ≤ 0.

Resolvemos la ecuación (x + 2)(x − 6) = 0.Obtenemos que x + 2 = 0 o x − 6 = 0. Luego x = −2
x = 6. Ahora construimos el cuadro de variación.
Intervalos
x+2
x−6
(x + 2)(x − 6)

(−∞, −2)
+

(−2, 6)
+
-

(6,+∞)
+
+
+

Y determinamos todos losvalores de x tales que (x + 2)(x − 6) ≤ 0. (x + 2)(x − 6) es menor que cero en
el intervalo (−2, 6) e igual a cero en x = −2 y en x = 6.

F(x) [−2, 6].

3)
x^2 + x − 2 > 0.
Empezamos factorizando laexpresión cuadrática pues uno de los lados es igual a cero.
x^2 + x − 2 > 0
(x + 2)(x − 1) > 0
Ahora resolvemos la ecuación (x + 2)(x − 1) = 0. Tenemos que x + 2 = 0 , x − 1 = 0.

Obtenemos que x = −2 o x= 1. Estos valores dividen la recta real en tres intervalos: (−∞, −2),
(−2, 1), (1,∞). Sabemos que x = −2 y en x = 1 satisfacen la ecuación x
2 + x − 2 = 0. Queremos determinar el signo de laexpresión x
2 + x − 2 en los intervalos (−∞, −2), (−2, 1), (1,∞).

Entonces para determinar el signo del factor x − 2 en el intervalo (−∞, −2) escogemos un valor de x
que este en este intervalo,
digamos x...