Matematicas

MATEMATICAS PARA INGENIERIA
José Darío Sánchez Hernández
Bogotá-Colombia, septiembre 2004

danojuanos@hotmail.com danojuanos@tutopia.com
El objeto de las presentes notas es facilitar al cibernauta de las carreras de Ingeniería, la ´ ´ asimilacion de disciplinas de la matematica, fruto de largas reflexiones hechas por los ´ ´ ´ mas grandes matematicos y que los Físicos matematicos utilizan en eldesarrollo de sus ´ ´ trabajos, tanto teoricos como practicos y que durante muchos años he enseñado en las universidades Nacional y Distrital en Colombia. Desde luego que estas notas no son originales, ni pretenden serlo, es consecuencia de ´ una necesidad, para facilitar el aprendizaje rapido de conceptos difíciles. ´ Se intenta tener parágrafo por parágrafo el material necesario para una mejorasimilacion, ´ con la seleccion de cuidadosos ejercicios encaminados hacia un estudio dirigido. Estos ´ ejercicios son clasicos, y buscan familiarizar al cibernauta con uno o varios resultados. Para cada parágrafo hay un resultado fundamental, alrededor del cual se dirigen todos los ´ demas, por ejemplo en el §3 todo se desarrolla para lograr el aprendizaje del teorema de Cauchy.

UNIDAD I
§ 1. N UM E R O S C O M P L E J O S ´ INTRODUCCION : Historicamente los numeros complejos ´ ´ surgieron al tratar de hallar la solucion de la ´ ecuacion
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Esto nos indica que los numeros ´ respuesta al problema universal:
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complejos

son

la

´ ´ ¿ cual es la solucion de la ecuacion ? Se trata efectivamente de un problema puramente algebraico, contando para ello con el conocimiento de ´ los numerosreales ´ . Para inciar con tal proposito consideremos el producto cartesiano { / , } en el cual se definen dos operaciones suma y ´ multiplicacion en la siguiente forma : Suma : ( , ) ( , ) ( , ) ´ Multiplicacion : ( , )( , ) ( , ) Es importante tener una igualdad en , pero en efecto se tiene. Se trata de la igualdad entre parejas ordenadas, es decir, Igualdad : ( , ) ( , )

Darío Sánchez HMatemáticas para Ingeniería

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En esta forma toma la llamada estructura de cuerpo o sea se demuestran las siguientes propiedades : 1. [(x,y)+(a,b)]+(n,m) (x,y)+[(a,b)+(n,m)] [(x,y)(a,b)](n,m) (x,y)[(a,b)(n,m)] 2. (x,y)+(a,b) (a,b)+(x,y) (x,y)(a,b) (a,b)(x,y) 3. Existen (0,0) y (1,0) tales que (x,y)+(0,0) (x,y) (x,y)(1,0) (x,y) 4. Dado (a,b) existe (-x,-y) tal que (x,y)+(-x,-y) (0, 0) Dado (a,b) (0,0)existe (n,m) tal que (a,b)(n,m) (1,0) ´ Es facil ver que a (n,m) ( a +b , a -b ) +b Se suele notar (n,m) = (a,b) 1 5. Dados (a,b) ,(x,y), (n,m) en se tiene (a,b)[(x,y)+(n,m)] (a,b)(x,y)+(a,b)(n,m) El subconjunto {( , )/ } de juega un papel fundamental, pues con la ´ siguiente identificacion ( , ) se puede considerar a y al subconjunto {( , )/ } se le llama « eje real » RESULTADO : La ecuacion ´ Enefecto, supongamos que ´ ecuacion
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tiene solucion en ´
entonces

. ( , ) y la

´ tomara la forma ( , )( , ) (1,0) (0,0) ( ,2 ) (1,0) (0,0) ( 1,2 ) = (0,0) 1 0 2 0 ´ O sea se obtiene un sistema cuadratico de ecuaciones para y . Con el fin de hallar concretamente y ´ tenemos de la segunda ecuacion dos posibilidades Claramente Si o sea de donde no se puede tener puesto que no se tendría ´ ´ ,entonces de la primera ecuacion se tendra 1 0

Darío Sánchez H

Matemáticas para Ingeniería

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se obtendría entonces dos soluciones ( , ) ( , ) La posibilidad , y como deseamos soluciones reales, obtendríamos para que por lo tanto esta posibilidad no se puede presentar. CONCLUSION : La solucion de la ecuacion ´ ´

en

esta dado por

,

y ( ,

).

DEFINICION : En notacion universal, denotamos por ´

ala solucion ´

de la ecuacion ´
RESULTADO : Si En efecto ahora ( , )( , ) así

o sea entonces ( , )
( , )

, .

( , ) ( , ) ( , ) ´ En estas condiciones es llamado numero complejo ´ Al conjunto con la suma, la multiplicacion, la igualdad y las propiedades 1 a 5 se la denomina: ´ Conjunto de los numero complejos se le denota con la letra y se tiene { / con , , ( , )} Al conjunto {( , )/ } se le...