Matematicas

Preliminares
Se suponen conocidos:

∀ (para todo), ∃ (existe), ⇒ (implica), ⇔ (si y s´ lo si),
o
∪ (uni´ n), ∩ (intersecci´ n), ⊂ (contenido en), ∈ (pertenece), ...
o
o

p
N = {1, 2, 3, 4, . . .} naturales, Z = {. . . , −1, 0, 1, 2, . . .} enteros, Q = { q , p, q ∈ Z, q = 0} racionales.

En C´ lculo I se definen bien los R reales. Q y R son ‘cuerpos’ (N y Z no), es decir, cumplen:
a1) asociativa y conmutativa: a+(b+c) = (a+b)+c , a+b = b+a , a·(b·c) = (a·b)·c , a·b = b·a
2) distributiva: a · (b + c) = a · b + a · c
3) existen neutros 0 respecto a + y 1 respecto a · : a + 0 = a, a · 1 = a ∀a
4) existen inversos: ∀a ∃ − a tal que a + (−a) = 0 , ∀a = 0 ∃ a−1 tal que a · a−1 = 1

Operaciones b´ sicas: a partir de las operaciones anteriores se definen ( a, b ∈ R , n, m ∈ N ):a
1
a−b = a+(−b) ; si b = 0 , a = a · b−1 ; an = a · · · a , n veces; si a = 0 , a−n = an ; a0 = 1 ;
b
√
m
a1/n = n a = b ⇔ bn = a , am/n = [a1/n ] = [am ]1/n , si n par, s´ lo si a > 0 , si n impar ∀a ;
o

√
√
a representa siempre s´ lo la ra´z positiva; el otro n´ mero real cuyo cuadrado es a es − a .
o
ı
u

a
Propiedades: ac+d = ac ad , (ac )d = acd , (ab)c = ac bc , ( b )c =[Si c, d ∈ Z o son racionales
logb a = c ⇔ bc = a

m
n

ac
bc

, a−c =

1
ac

, si a, b > 0 .

d

d

con n impar valen ∀a, b ; ac representa siempre a(c ) ].

para a, b > 0 , b = 1 .
n

1
1
El importante: loge ≡ log ≡ ln ≡ L , e = l´m (1+ 1 ) = 1 + 2! + 3! + · · · = 2,71828182....
ı
n
n→∞

[Algunos valores: log 1 = 0 , log e = 1 , log 2 ≈ 0.69 , log 3 ≈ 1.10 ,log 5 ≈ 1.61 , ...].
a
Propiedades: log(ab) = log a+log b , log( b ) = log a−log b , log(ac ) = c log a , si a, b > 0 .

x3

x2

x2

1

_
!x
3_
!x

ex

1/x2

1/x2

_

(0 bc , a/c > b/c
1 < a ⇒ a < a2 ; 0 < a < 1 ⇒ a > a2

bx (b

bx

a < b , c < d ⇒ a+c < b+d , a−d < b−c
a < b , c < d ⇒ ac < bd , si a, b, c, d > 0
a/c < b/d ⇔ ad < bc , si a, b, c, d > 0
√
√
a < b⇔ 1/a > 1/b , a2 < b2 , a < b , si a, b > 0

´
Todas las desigualdades son v´ lidas sustituyendo los < por ≤ (menos los > 0 o < 0).
a

A cada real x le podemos asociar un real positivo |x| , el valor absoluto de x :
√
x si x ≥ 0
|x|
|y|
|x| = x2 =
x
y
0
−x si x ≤ 0

–x

x

|x–y|

|x| representa la distancia de x al origen y |x − y| la distancia de x a y (tanto si y > x comosi x > y)

1

´
´
´
´
Maximo comun divisor y m´nimo comun multiplo.
ı
´
Dados n, d ∈ N se dice que n es multiplo de d o que d es divisor de n si n/d es tambi´ n natural. Todo n tiene
e
´
al menos dos divisores: 1 y n . Si son los unicos n se dice primo. Un conjunto de enteros n1 , ..., nk tiene siempre
´
un divisor com´ n: el 1 . M´ ximo comun divisor mcd[n1 , ..., nk ] es elmayor natural que divide a todos. Por otra
u
a
´
´
parte, hay naturales m´ ltiplos de todos ellos (por ejemplo su producto). M´nimo comun multiplo mcm[n1 , ..., nk ]
u
ı
es el menor de ellos. Hallar el mcd y el mcm es f´ cil una vez calculados los divisores primos de cada n j .
a
[Un entero es divisible por 3 (y por 9 ) si y s´ lo si lo es la suma de sus cifras; divisible por 4 (por 8 ) sio
´
lo son sus 2 (3) ultimas cifras; por 5 si acaba en 0 o en 5 ; por 11 si la diferencia entre la suma de las
cifras que ocupan lugar par y la suma de las que ocupan lugar impar es m´ ltiplo de 11 (incluido el 0 )].
u
Otra forma de hallar el mcd[m, n] es el algoritmo de Euclides: Sea m > n . Dividimos m entre n y llamamos q1 al
cociente y r1 al resto: m = q1 n+r1 . Dividimos ahora n entrer1 : n = q2 r1 +r2 . Despu´ s r1 entre r2 : r1 = q3 r2 +r3 .
e
´
Luego r2 entre r3 . . . , y seguimos dividiendo as´ hasta que el resto sea 0 . El mcd[m, n] es el ultimo resto no nulo.
ı
Ej. Sean 2340 y 6798. Como 2340 = 22 ·32 ·5·13 y 6798 = 2·3·11·103, mcd=6 y mcm=22 ·32 ·5·11·13·103 = 2651220
Euclides: 6798 = 2·2340 + 2118, 2340 = 1·2118 + 222, 2118 = 9·222 + 120, 222 = 1·120 + 102,
·...