matematicas

1.1 Introducción.

1.2 Uso de la Ecuación.

1.3 Tipo de Ecuación.

2. Definición General.

2.1 Conjunto de Ecuaciones.

2.2 Casos Particulares.

2.3 Propiedades de las Ecuaciones.

3. Ecuaciones Algebraicas.

3.1 Definición.

3.2 Forma Canónica.

3.3 Grados.

3.4 Ecuación del Primer Grado.

3.4.1 Resolución de ecuación de Grado.

3.4.1.2 Simplicación.

3.4.1.3 Despeje.



Introducción:Introducci´on En la escuela aprendimos a resolver ecuaciones lineales aX + b = 0 (1) y cuadr´aticas aX2 + bX + c = 0. (2) donde a, b y c son n´umeros y suponemos que a 6= 0. Es bien sabido que la ´unica soluci´on de la ecuaci´on (1) es − b a y que la ecuaci´on (2) tiene a lo sumo dos soluciones que se obtienen al elegir el signo de la ra´ız cuadrada en la siguiente expresi´on:−b ± √ b 2 − 4ac 2a . (3) En realidad, si b 2 = 4ac, entonces la ecuaci´on (2) tiene una ´unica soluci´on y, si nos restringimos a los n´umeros reales, entonces la ecuaci´on no tiene soluci´on si b 2 − 4ac es negativo. Las ecuaciones (1) y (2) aparecen naturalmente en multitud de problemas y sus soluciones son conocidas desde tiempos de los babilonios. Sin embargo, hasta el Renacimiento no sedescubrieron f´ormulas para resolver las ecuaciones de tercer y cuarto grado, conocidas con el nombre de c´ubicas y cu´articas respectivamente. Al parecer Scipione del Ferro (1465?-1526) fue el primero en descubrir una f´ormula para resolver ecuaciones de tercer grado. Los descubrimientos de del Ferro no fueron divulgados y fueron redescubiertos m´as tarde por Nicolo Fontana (1500?-1557), conocido conel nombre de Tartaglia (“El Tartamudo”). El m´etodo para resolver la c´ubica fue guardado en secreto por Tartaglia hasta que se lo comunic´o a Hieronymo Cardano (1501-1576) con la condici´on de que no lo hiciera p´ublico. Sin embargo, Cardano rompi´o su promesa con Fontana y en 1545 public´o la f´ormula de Tartaglia en su libro Artis Magnae sive de Regulis Algebricis, m´as conocido con el nombre deArs Magna. En este libro Cardano no s´olo publica la f´ormula de Tartaglia, sino tambi´en la soluci´on de la cu´artica que entretanto hab´ıa sido descubierta por Ludovico Ferrari (1522-1565). Vamos a ver como resolver la c´ubica aX3 + bX2 + cX + d (a 6= 0). (4) Est´a claro que dividiendo por a podemos suponer que a = 1. Adem´as podemos suponer que b = 0 haciendo el cambio X 7→ X + λ para un valorde λ apropiado. M´as concretamente, si ponemos X3 + bX2 + cX + d = (X + λ) 3 − 3λX2 − 2λ 2X − λ 3 + bX2 + cX + d = (X + λ) 3 + (b − 3λ)X2 + (c − 3λ 2 )X + d − λ 3 . Por tanto, si elegimos λ = b 3 y ponemos Y = X + b 3 , entonces la ecuaci´on (4) es equivalente a la siguiente Y 3 + c − 3 b a 2 ! Y − b 3 + d − b a 3 . (5) 1 2 Es decir, para resolver la ecuaci´on (4) podemos primero resolver laecuaci´on (5) y despu´es calcular las soluciones de la ecuaci´on (4) poniendo X = Y − b a . La ecuaci´on (5) tiene la forma X3 + pX + q = 0. (6) Por ejemplo, podemos plantearnos el problema de calcular la longitud de las aristas de un cubo cuyo volumen sea seis unidades mayor que el ´area total de las caras exteriores. Si X es la longitud de una arista, entonces el volumen es X3 y cada una de lasseis caras exteriores tiene una ´area igual a X2 . Por tanto X satisface la ecuaci´on X3 = 6X2 + 6 ´o X3 − 6X2 − 6 = 0. Poniendo Y = X − 2 nos quedamos con la ecuaci´on 0 = (Y + 2)3 − 6(Y + 2) − 6 = Y 3 + 6Y 3 + 12Y + 8 − 6Y 2 − 24Y − 24 − 6 = Y 3 − 12Y − 22. Para resolver la ecuaci´on (6) del Ferro y Tartaglia pon´ıan X = u + v con lo que la ecuaci´on (6) se convierte en u 3 + 3u 2 v + 3uv2 + v 3+ pu + pv + q = 0 o u 3 + v 3 + (3uv + p)(u + v) + q = 0. Como hemos cambiado una variable por otras dos, es natural imponer alguna condici´on adicional entre las dos variables u y v. Por ejemplo, la ´ultima ecuaci´on se simplifica bastante si ponemos 3uv + p = 0, con lo que nos quedamos con el siguiente sistema u 3 + v 3 + q = 0, v = − p 3u de donde se obtiene u 3 − p 3 27u 3 + q = 0....