Matematicas

CENTROIDE
Introducción
El peso de un objeto por ejemplo, generalmente es representada por el peso total del objeto, aunque la realidad es que debería ser representada como la acción de un gran número de pequeños pesos distribuidos en todo el objeto y actuando en cada pequeña parte del objeto. Un sistema equivalente a este planteado es ubicar el peso total o resultante en un único puntodenominado centro de gravedad.

Definición
El centro de gravedad es el punto de aplicación de un cuerpo rígido donde al ubicar la resultante de las fuerzas los efectos sobre el cuerpo no varían. En el caso de superficies homogéneas, el centro de gravedad se sustituye por el centroide del área, el cual considera las áreas de los elementos en vez de los pesos y las expresiones para determinar lascoordenadas centroidales son:

A = ∫ dA ; x A = ∫ xdA ; y A = ∫ ydA

Figura 1. Centroide del área A y coordenadas de una parte del área ΔA

Centroide de áreas compuestas
En gran cantidad de casos una superficie cualquiera puede ser subdividida en una serie de figuras comunes (rectángulo, triangulo, circunferencia etc..). Esta forma de análisis es útil y permite determinar el centroide de cualquiersuperficie según:

A = ∑ Ai ; x =

∑x A ∑A
i i

i

; y=

∑yA ∑A
i i

i

Los centroides y el área común se obtiene de la aplicación de fórmulas para áreas comunes como los indicados en la tabla.

Facultad de Arquitectura y Diseño Universidad de Los Andes, Venezuela Sistemas Estructurales 10

Prof. Jorge O. Medina

Figura 2. Subdivisión de un área

Teorema de Pappus-GuidinUna superficie de revolución es aquella que se genera al girar una curva con respecto de un eje, por ejemplo una esfera se puede generar al girar un arco semicircular. De manera similar tenemos los cuerpos de revolución que son obtenidos al girar un área con respecto de un eje fijo.

Teorema I
El área de una superficie de revolución es igual a la longitud de la curva generadora por ladistancia recorrida por el centroide de la curva, al generar la superficie.

Teorema II
El volumen de un cuerpo de revolución es igual al área generadora por la distancia recorrida por el centroide del área al generar el cuerpo.

Bibliografía
Beer, F. y Johnston, E. R. (1977). Mecánica Vectorial para Ingenieros (Estática Tomo I). Bogotá, Colombia: McGraw-Hill Latinoamericana S.A.

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MOMENTOS DE INERCIA
Introducción
El centroide representa el punto donde se ubica la resultante del peso de un objeto, además esta posición representa un movimiento simple de un objeto al contrario si se analiza el objeto completo donde cada punto presenta un movimiento más complejo. Elcentroide es proporcional a la ubicación del área asociada. Por otra parte, tenemos una medida denominada momento de inercia que no depende solamente de la ubicación del área sino de la distancia hasta un eje dado.

Definición
El momento de inercia es una propiedad geométrica de una superficie o área que representa la distancia de un área con respecto a un eje dado. Se define como la suma de losproductos de todas las áreas elementales multiplicadas por el cuadrado de las distancias a un eje. Tiene unidades de longitud elevada a la cuatro (longitud4). Es importante para el análisis de vigas y columnas, porque el diseño del tamaño de estos elementos esta relacionado con el momento de inercia, ya que el momento de inercia I define la forma apropiada que debe la sección del elementoestructural. (Beer y Johnston, 1977; Parker y Ambrose, 1995) Dada la definición de momento de inercia, esta se expresa según lo siguiente:

I x = ∫ y 2 dA ; I y = ∫ x 2 dA

Figura 1. Esquema de Momento de Inercia

MOMENTO DE INERCIA DE FRANJAS DIFERENCIALES Al desarrollar la ecuación I x = la base del rectángulo es la siguiente:

∫ y dA para una figura rectangular es según la Figura
2

2 y...