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. Para el punto de inflexión desde el punto de vista del clima, véase Punto de inflexión (climatología).


Gráfico de y = x3 con un punto de inflexión en el punto (0,0).


Para hallar los puntos de inflexión, seguiremos los siguientes pasos:
 1  Hallamos la derivada segunda y calculamos sus raíces.
 2  Realizamos la derivada tercera, y calculamos el signo que toman en ella los ceros dederivada segunda y si:
f'''(x) ≠ 0 Tenemos un punto de inflexión.
 3  Calculamos la imagen (en la función) del punto de inflexión.
Gráfico de y = x3, rotado, con tangente en el punto de inflexión en el punto (0,0).
Un punto de inflexión es un punto donde los valores de x de una función continua pasa de un tipo de concavidad a otra. La curva "atraviesa" la tangente. Matemáticamente la derivadasegunda de la función f en el punto de inflexión es cero, o no existe.
En las funciones derivables reales de una variable real, para hallar estos puntos de inflexión, basta con igualar la segunda derivada de la función a cero y despejar. Los puntos obtenidos deberán ser sustituidos en la derivada tercera o sucesivas hasta que nos dé un valor diferente de cero. Cuando esto suceda, si la derivadapara la que es distinto de cero es impar, se trata de un punto de inflexión; pero, si se trata de derivada par, no lo es. Más concretamente:
1. Se halla la primera derivada de 
2. Se halla la segunda derivada de 
3. Se halla la tercera derivada de 
4. Se iguala la segunda derivada a 0: 
5. Se despeja la variable independiente y se obtienen todos los valores posibles de la misma: .
6. Se hallala imagen de cada sustituyendo la variable dependiente en la función.
7. Ahora, en la tercera derivada, se sustituye cada :
1. Si , se tiene un punto de inflexión en .
2. Si , debemos sustituir  en las sucesivas derivadas hasta sea distinto de cero. Cuando se halle la derivada para la que  no sea nulo, hay que ver qué derivada es:
2.1. Si la derivada es impar, se trata de un punto deinflexión.
2.2. Si la derivada es par, no se trata de un punto de inflexión.
La ecuación  no tiene puntos de inflexión, porque la derivada segunda es siempre mayor o igual a cero, por tanto no hay cambio de concavidad dado que es no negativa en todo su dominio. Sin embargo en  la derivada segunda se anula y la primera derivada no nula en  es la derivada cuarta, que es par. Obsérvese que  tampoco presentaun extremo en .

DEFINICIÓN
El punto que, en una función continua, separa la parte convexa de la cóncava, se llama punto de inflexión de la función. En ellos la función no es cóncava ni convexa sino que hay cambio de concavidad a convexidad o al revés. 

Los puntos de inflexión están caracterizados por: 

TEOREMA 
Sea  la ecuación de una función.
Si  no existe, y la derivada  cambia designo al pasar por el valor de x=a, entonces, el punto de la función de abscisa x=a es un punto de inflexión.

Clasificación de los puntos de inflexión 


Nota
Los puntos de inflexión donde la función es derivable, tienen la característica de tener una recta tangente que cruza la gráfica de f. 

Ejemplo: 

 

 
El punto x=1 es un punto de inflexión, puesto que antes de x=1 la derivadasegunda es negativa (convexa) y después de x=1 es positiva (cóncava).
TABLA DE VALORES
X
Y

1
-2
P. INFLEXIÓN


Si f y f' son derivables en a, a es un:
Punto de inflexión
Si f'' = 0
y f''' ≠ 0
Cálculo de los puntos de inflexión
Para hallar los puntos de inflexión, seguiremos los siguientes pasos:
 
Ejemplos
1. Hallar los puntos de inflexión de:
f(x) = x3 − 3x + 2
f''(x) = 6x 6x= 0 x = 0.
f'''(x) = 6 Será un punto de inflexión.
f(0) = (0)3 − 3(0) + 2 = 2
Punto de inflexión: (0, 2)

Si ya hemos estudiado la concavidad y convexidad de una función habrá:
Puntos de inflexión en los puntos en que esta pasa de cóncava a convexa o vicecersa.

2. Calcular los puntos de inflexión de la función:







Tenemos un punto de inflexión en x = 0, ya que la función...