MatematicasIIIEjercicios4Solucion
Páginas: 25 (6112 palabras)
Publicado: 12 de abril de 2015
UNIVERSIDAD DEL PACÍFICO
DEPARTAMENTO ACADÉMICO DE ECONOMÍA
30651 MATEMÁTICAS III
SEGUNDO
SEMESTRE
PRIMER SEMESTRE
20142014
GUÍA DE EJERCICIOS Y PROBLEMAS
UNIDAD 4: FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
4.1 DERIVADA Y DIFERENCIAL. GRADIENTE Y HESSIANO DE UNA FUNCIÓN.
1.
(
Se tiene la función
(
2.
Sea
3.
Sea
)
(
)
) ). Calcule:
((
)
(
. Calcule
) donde {
cuando r=2, s=1, t=0 sabiendo que. Calcule
cuando
Solución:
(
Por otro lado:
)
(
)
)
( ) donde {
(
(
)
(
(
)
)
(
(
)
(
)
(
)
(
)
)
( )
MATEMÁTICAS III
Unidad 4: Funciones de varias variables
Se pide evaluar las derivadas cuando
(
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
, por lo tanto:
)
(
)
Finalmente:
(
(
)
)
[
4.
(
(
(
)
)(
)
)
(
(
(
)
)(
)
(
)
)]
La función de ofertade cierto artículo es:
(
√
)
Donde p es el precio, q la cantidad y r la lluvia.
a.
Determine la elasticidad de la oferta con relación a los precios
lluvia
.
, y la elasticidad de la oferta con relación a la
Solución:
√
√
(
√
b.
√ )
¿Cómo varían las elasticidades parciales respecto a p y r? (suponiendo que p y r son estrictamente positivas).
Solución:
√
(
)
(
(
(
√ ) )
)
Primero(
Versión 1 (2014-1)
)
(
√ )
(
√ ) (
)
2
MATEMÁTICAS III
Unidad 4: Funciones de varias variables
(
√ )
(
(
√ )
)
√
(
)
Luego
(
5.
)
(
(
√ )
√
)
Halle la tasa de cambio de producción respecto al tiempo, si la función de producción es
,y
.
( ) es una función creciente de t, y
( )
, donde
Solución:
(
)
(
6.
Suponiendo que la ecuación (
(
)( )
(
(
)[
]
))Encuentre las expresiones para
)( )
define de forma implícita una función de utilidad
,
,
,
. Explique sus respectivos significados
económicos.
Solución:
: Solo U y x2 varían, las demás se mantienen constantes, pues se trata de una derivada parcial, entonces:
Igual para
: Solo x3 y x2varían, las demás se mantienen constantes, pues se trata de una derivada parcial:
Igual para
Para los dosprimeros casos un aumento infinitesimal de xi aumenta la utilidad en , esto es la utilidad marginal del bien
xi. Para los dos últimos casos se ve la tasa marginal de sustitución, que dependerá de los ratios de las utilidades
marginales.
Versión 1 (2014-1)
3
MATEMÁTICAS III
7.
Unidad 4: Funciones de varias variables
La curva IS está formada por los pares ordenados (
(
)
(
,
a. ¿Essuficiente asumir
), donde:
,
)
( )
( )
,
,
para asegurar que la IS tiene
pendiente negativa?
Solución:
)
(
(
)
No es suficiente. El denominador debe de ser mayor a cero.
b. Si se asume que
, donde
, halle
.
Solución:
Como
(
)
(
(
Versión 1 (2014-1)
)
)
4
MATEMÁTICAS III
8.
Unidad 4: Funciones de varias variables
Halle la derivadas parciales respecto a X (vector columna con nfilas) para los siguientes casos:
i)
Y X ' A , donde “A” es un vector columna de “n” filas.
Solución:
[
][
]
[
ii)
]
Y X ' AX , donde “A” es una matriz simétrica de n filas por n columnas.
Solución:
[
][
][ ]
[
[
9.
][
]
]
) ( )
Dada la función de producción (
( ) ( ) ( ) (
productividad marginal para cada factor cuando el otro factor se mantiene constante.
)
. Obtener elvector de
Solución:
Esto es igual al gradiente de la función, que es el vector de derivadas parciales (derivada de una función con respecto a
una variable mientras se mantiene constante a la otra) de la misma:
Versión 1 (2014-1)
5
MATEMÁTICAS III
Unidad 4: Funciones de varias variables
[
[
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( ) (
) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )(
)
( )( ) (
( ) (
)( )
)
(
)
]]
10. En econometría, uno de los procesos más utilizados es el de Máxima Verosimilitud. Este proceso consiste en la
maximización de los parámetros del modelo en la función de verosimilitud especificada. En este caso, asumamos
una función de distribución normal:
(
)
( ) ( )
( )
Tomando en cuenta el modelo:
, donde Y es un vector columna de observaciones de orden nx1; X es
una matriz de orden nxk;...
DEPARTAMENTO ACADÉMICO DE ECONOMÍA
30651 MATEMÁTICAS III
SEGUNDO
SEMESTRE
PRIMER SEMESTRE
20142014
GUÍA DE EJERCICIOS Y PROBLEMAS
UNIDAD 4: FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
4.1 DERIVADA Y DIFERENCIAL. GRADIENTE Y HESSIANO DE UNA FUNCIÓN.
1.
(
Se tiene la función
(
2.
Sea
3.
Sea
)
(
)
) ). Calcule:
((
)
(
. Calcule
) donde {
cuando r=2, s=1, t=0 sabiendo que. Calcule
cuando
Solución:
(
Por otro lado:
)
(
)
)
( ) donde {
(
(
)
(
(
)
)
(
(
)
(
)
(
)
(
)
)
( )
MATEMÁTICAS III
Unidad 4: Funciones de varias variables
Se pide evaluar las derivadas cuando
(
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
, por lo tanto:
)
(
)
Finalmente:
(
(
)
)
[
4.
(
(
(
)
)(
)
)
(
(
(
)
)(
)
(
)
)]
La función de ofertade cierto artículo es:
(
√
)
Donde p es el precio, q la cantidad y r la lluvia.
a.
Determine la elasticidad de la oferta con relación a los precios
lluvia
.
, y la elasticidad de la oferta con relación a la
Solución:
√
√
(
√
b.
√ )
¿Cómo varían las elasticidades parciales respecto a p y r? (suponiendo que p y r son estrictamente positivas).
Solución:
√
(
)
(
(
(
√ ) )
)
Primero(
Versión 1 (2014-1)
)
(
√ )
(
√ ) (
)
2
MATEMÁTICAS III
Unidad 4: Funciones de varias variables
(
√ )
(
(
√ )
)
√
(
)
Luego
(
5.
)
(
(
√ )
√
)
Halle la tasa de cambio de producción respecto al tiempo, si la función de producción es
,y
.
( ) es una función creciente de t, y
( )
, donde
Solución:
(
)
(
6.
Suponiendo que la ecuación (
(
)( )
(
(
)[
]
))Encuentre las expresiones para
)( )
define de forma implícita una función de utilidad
,
,
,
. Explique sus respectivos significados
económicos.
Solución:
: Solo U y x2 varían, las demás se mantienen constantes, pues se trata de una derivada parcial, entonces:
Igual para
: Solo x3 y x2varían, las demás se mantienen constantes, pues se trata de una derivada parcial:
Igual para
Para los dosprimeros casos un aumento infinitesimal de xi aumenta la utilidad en , esto es la utilidad marginal del bien
xi. Para los dos últimos casos se ve la tasa marginal de sustitución, que dependerá de los ratios de las utilidades
marginales.
Versión 1 (2014-1)
3
MATEMÁTICAS III
7.
Unidad 4: Funciones de varias variables
La curva IS está formada por los pares ordenados (
(
)
(
,
a. ¿Essuficiente asumir
), donde:
,
)
( )
( )
,
,
para asegurar que la IS tiene
pendiente negativa?
Solución:
)
(
(
)
No es suficiente. El denominador debe de ser mayor a cero.
b. Si se asume que
, donde
, halle
.
Solución:
Como
(
)
(
(
Versión 1 (2014-1)
)
)
4
MATEMÁTICAS III
8.
Unidad 4: Funciones de varias variables
Halle la derivadas parciales respecto a X (vector columna con nfilas) para los siguientes casos:
i)
Y X ' A , donde “A” es un vector columna de “n” filas.
Solución:
[
][
]
[
ii)
]
Y X ' AX , donde “A” es una matriz simétrica de n filas por n columnas.
Solución:
[
][
][ ]
[
[
9.
][
]
]
) ( )
Dada la función de producción (
( ) ( ) ( ) (
productividad marginal para cada factor cuando el otro factor se mantiene constante.
)
. Obtener elvector de
Solución:
Esto es igual al gradiente de la función, que es el vector de derivadas parciales (derivada de una función con respecto a
una variable mientras se mantiene constante a la otra) de la misma:
Versión 1 (2014-1)
5
MATEMÁTICAS III
Unidad 4: Funciones de varias variables
[
[
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( ) (
) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )(
)
( )( ) (
( ) (
)( )
)
(
)
]]
10. En econometría, uno de los procesos más utilizados es el de Máxima Verosimilitud. Este proceso consiste en la
maximización de los parámetros del modelo en la función de verosimilitud especificada. En este caso, asumamos
una función de distribución normal:
(
)
( ) ( )
( )
Tomando en cuenta el modelo:
, donde Y es un vector columna de observaciones de orden nx1; X es
una matriz de orden nxk;...
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