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Semana 2
CURSO: CÁLCULO I
Funciones elementales: racional, definida por trozos y valor absoluto

Tema:

FUNCIONES ESPECIALES
FUNCIÓN RACIONAL:
Una función racional f es un cociente de dos polinomios:

f ( x) 

p( x)
q( x)

donde p y q son polinomios. El dominio de una función es el conjunto de todos los números
reales x tal que q ( x )  0 .

Dom( f )  {x  R / q ( x)  0}
R  {x / q ( x)  0}

Dominio:

Un ejemplo simple de una función racional es la función
f ( x)  1 / x ,
cuyo
dominio
es
Dom( f )  {x / x  0}  R  {0}  (;0)  (0;)

;

su

grafica se muestra a continuación

Ejemplos:
1.

La función

f ( x) 

2x 2  3
es una función con
7x  4

dominio

Dom( f )  R  {x / q( x)  0}
 R  {x / 7 x  4  0}
 R  {x  4 /7}  R  {4 / 7}
La gráfica de la función se muestra en la figura (a).
2.

La función f ( x) 

4  6 x 2  3x 3
tiene por dominio
x2  x  6

Dom( f )  R  {x / q( x)  0}
 R  {x / x 2  x  6  0}
Dom( f )  R  {( x  3)( x  2)  0}  R  {2,3}

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Semestre 2014- II

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3.

Determine el dominio de f ( x) 

1
x5

Solución:Debemos excluir al 5 del dominio porque requeriría una división entre cero. Así el
dominio sería
Dom( f )  R  {5}
4.

Dada la función f ( x) 

1
hallar el dominio y rango de f
5 x  15

Solución
Como la función es racional, entonces Dom( f )  R  {5 x  15  0}  R  {3} .
Para hallar el rango escribimos la función dada en la forma x  f ( y) luego

y

1

5 x  15

y (5 x 15)  1  5 xy  15 y  1 

x

1 15 y
5y

Rang( f )  R  {5 y  0}  R  {0}

FUNCIÓN DEFINIDA POR PARTES:
En algunas situaciones, no siempre es posible que única regla de correspondencia defina
con claridad una función. Por ejemplo, algunas compañías telefónicas ofrecen un precio por
llamada si se realizan menos de n llamadas, y una reducción en el precio por llamada si elnúmero es superior. En este caso es conveniente utilizar un tipo de función, que llamaremos
definida por partes, para describir la situación, y cuya definición presentamos a
continuación.
Definición: Una función definida por partes es una función que tiene la forma

 f1 ( x) si x  D1
 f ( x) si x  D

2
f ( x)   2


 
 f n ( x) si x  Dn

con Di  D j   para i, j = 1, 2,…, n e i  j .El dominio y el rango de f(x) se determina
por:
D f  D1  D2    Dn

R f  R1  R2    Rn
Ejemplo:

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1.

Una función se define por

1  x si
f ( x)   2
 x si

x 1
x 1

Evalúe f (0), f (1) y f (2).
Solución:
Para esta función en particular, primero se considera el valor de la entrada de x.Si sucede
que x  1 , entonces el valor de f (x ) es 1  x . Por otra parte, si x  1 , entonces el valor de

f (x ) es x 2 .
Como 0  1 , tenemos f (0)  1  0  1.
Como 1 1 , tenemos f (1)  1  1  0.
Como 2  1 , tenemos f (2)  22  4 .
2.

La función

 x si x  0

f ( x )   x 2 si 0  x  1
 1 si x  1

es definida en la recta real pero sus valores están dados porformulas diferentes
dependiendo de la posición de x. Los valores de f son dados por

y   x , cuando x  0
y  x 2 , cuando 0  x  1
y  1 , cuando x  1
Para graficarla función y  f (x ) aplicamos
diferentes fórmulas para diferentes partes del
dominio.
3.

2 x  1 si x  1
Calcular el dominio y rango de la función f ( x)   2
 x  2 si x  0
Solución
D f  [1, 
 f1 ( x)  2x  1 si x  1

Calculando su dominio se tiene: 
 1
2
 f 2 ( x)  x  2 si x  0 D f 2  ,0 

Luego su dominio de f (x) es: D f  D f1  D f 2  [1,    ,0 

 D f  ,0  [1, 
Ahora calculamos el rango:

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y 1
 1  y  3 de donde: y  [3, 
2
Si x  0  y  x 2  2 despejando x se...