Matematico

ANÁLISIS FUNCIONAL
ESPACIOS VECTORIALES TOPOLÓGICOS. TEORÍA DE DISTRIBUCIONES. ESPACIOS DE
SOBOLEV

ROBERTO HERNANDO VELASCO

Í NDICE
1. Espacios vectoriales topológicos
1.1. Definición y propiedades elementales
1.2. Espacios localmente convexos
1.3. Espacios topológicos cocientes
1.4. Límites inductivos
1.5. Espacio dual. Topología débil
2. Teoría de distribuciones
2.1. Notaciones ydefiniciones previas
2.2. Derivada de una distribución
2.3. Soporte de una distribución
2.4. Convolución de distribuciones
2.5. Generalización de la convolución de distribuciones
2.6. Transformada de Fourier de una distribución
3. Espacios de Sobolev
3.1. Introducción

1

2
2
2
6
7
9
10
10
13
13
13
15
16
19
19

1.
1.1.

E SPACIOS VECTORIALES TOPOLÓGICOS

Definicióny propiedades elementales.

K

Definición 1.1. Sea E un –espacio vectorial y sea τ una topología sobre E. Se dice que τ es compatible
con la estructura de espacio vectorial de E si las aplicaciones
E(τ ) × E(τ ) −→ E(τ ),
(x, y) −→ x + y

K × E(τ ) −→ E(τ )
(λ, x) −→ λx

son continuas. En este caso se dice que (E, τ ) es un espacio vectorial topológico.

K

Definición 1.2. Sea E un–espacio vectorial y sea A ⊂ E. Se dice que A es absorbente si ∀x ∈ E
∃µx > 0 tal que para cada λ ∈ con |λ| ≤ µx se tiene que λx ∈ A.

K

Nota 1.3. Si A es absorbente, entonces 0 ∈ A.

K

Definición 1.4. Sea E un –espacio vectorial y sea A ⊂ E. Se dice que A es equilibrado si ∀λ ∈
|λ| ≤ 1 se tiene que λA ⊂ A.

K con

Proposición 1.5. Sea A ⊂ E equilibrado. Si ∀x ∈ E ∃λx > 0 con λx x ∈ A,entonces A es absorbente.
Proposición 1.6. (P ROPIEDADES
vectorial topológico. Entonces:

DE LOS ESPACIOS VECTORIALES TOPOLÓGICOS ).

Sea E un espacio

1. Para cada V ∈ B(0) existe U ∈ B(0) tal que U + U ⊂ V.
2. Si a ∈ E, la aplicación
E −→
x −→

E
a+x

es un homeomorfismo.
3. Si λ ∈ , la aplicación

K

E −→
x −→

E
λx

es continua. Además, si λ = 0, es un homeomorfismo.4. Si a ∈ E, la aplicación

K
λ

5.
6.
7.
8.
9.

−→
−→

E
λa

es continua.
Si a ∈ E, B(a) = {a + V : V ∈ B(0)}.
Todo entorno de 0 es absorbente.
Los entornos de 0 equilibrados forman un sistema fundamental de entornos de 0.
La adherencia de un conjunto equilibrado es un conjunto equilibrado.
Los entornos cerrados y equilibrados de 0 forman un sistema fundamental de entornosde 0.

Proposición 1.7. (C ARACTERIZACIÓN DE LOS ESPACIOS H AUSDORFF ). Sea E un
entonces son equivalentes:

K–espacio vectorial,

1. E es Hausdorff, y
2. para cada x ∈ E con x = 0, existe V ∈ B(0) tal que x ∈ V .
/
1.2. Espacios localmente convexos.
Definición 1.8.
Un espacio vectorial topológico se dice que es localmente convexo si el vector 0 admite un sistema
Espacio
fundamentalde entornos convexos.
localmente
Lema 1.9.
convexo
n
1. Sean A1 , A2 , . . . , An conjuntos absorbentes, entonces j=1 Aj es absorbente.
2. Sea {Ai }i∈I una familia de conjuntos equilibrados, entonces i∈I Ai es equilibrado.
3. Sea {Ai }i∈I una familia de conjuntos convexos, entonces i∈I Ai es convexo.
2

Espacio
vectorial
topológico

Definición 1.10. Una aplicación p : E →

R sellama seminorma en E si cumple:

p(x) ≥ 0, ∀x ∈ E,
p(λx) = |λ|p(x), ∀λ ∈ y ∀x ∈ E, y
p(x + y) ≤ p(x) + p(y), ∀x, y ∈ E.

K

Teorema 1.11. Sea {pi }i∈I una familia no vacía de seminormas en E y sea F el conjunto de las partes
finitas y no vacías de I. Para cada Γ ∈ F y cada ε > 0 se define el conjunto
{x ∈ E : pi (x) < ε}

VΓ,ε =
i∈Γ

que es absorbente, equilibrado y convexo.
Existe unaúnica topología sobre E compatible con la estructura vectorial para la que la familia
{VΓ,ε : Γ ∈ F, ε > 0}
es un sistema fundamental de entornos de 0E para la topología. Además, esta topología es localmente
convexa.
Dicha topología se denomina topología localmente convexa sobre E definida por la familia {pi }i∈I de
seminormas.
Corolario 1.12. Sea E un espacio localmente convexo cuya...