Matematico

TOPOLOGIA GENERAL
José Darío Sánchez Hernández
Bogotá-Colombia, Junio del 2005

danojuanos@hotmail.com
danojuanos@tutopia.com
El objeto de estas notas es brindar al lector un modelo de aprendizaje. A continuación encontrará
más de cien resultados básicos, entre los cuales se hallan definiciones, teoremas, corolarios y
algunos ejemplos, es posible que encuentre la manera de volver aredactar algunos, entonces
hágalo de forma que los pueda recordar después. Para las demostraciones es indispensable el uso
de una biblioteca con un buen número de textos de topología general, en esta forma el estudiante
utiliza tácticas de investigación y empleará la biblioteca. Luego encontrará resultados en donde se
ha dado una posible demostración, la cual se supone es correcta, sin descartarla posibilidad de
que haya algunos errores; el lector deberá revisarlas analizando cual de los resultados básicos se
han utilizado en la prueba.

§1. RESULTADOS BASICOS
1Þ Una

métrica en un conjunto Q es una función . À Q ‚ Q d que asocia a cada
par de puntos Bß C − Q un número real . Bß C llamado la distancia del punto B al
punto C de tal modo que:
ESM" . . Bß B œ !ß . Bß C  !ß si B ÁC
ESM# . . Bß C œ . Cß B
ESM$ . . Bß D Ÿ . Bß C  . Cß D à cualquiera que sean Bß Cß D − Q Þ
ì Un espacio METRICO es un par Q ß . formado por un conjunto Q y una métrica .
en Q .
ì Todo subconjunto \ de un espacio métrico Q posee una estructura natural de
espacio métrico. Basta definir la distancia entre dos puntos Bß C − \ como la misma
distancia entre ellos considerados como puntos de Q. La métrica así definida en \
se llama la METRICA INDUCIDA en \ por Q .
ì Sea Q ß . un espacio métrico y E § Q no vacío, B − Q se define la distancia de B
a E por
. Bß E œ 380 Ö. Bß + à + − E×
si B − E entonces . Bß E œ !Þ

2. Sea E un subconjunto no vacío de un espacio métrico Q . Cualesquiera que sean

se tiene
l. Bß E  . Cß E l Ÿ . Bß C
ì Cualesquiera sean Bß Cß D − Q , se tienel. Bß D  . Cß D l Ÿ . Bß C
ì Si E, F son dos subconjuntos no vacíos de Q , se define la distancia entre ellos
por

Bß C − Q

Darío Sánchez H.

TOPOLOGIA GENERAL

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. Eß F œ 380 Ö. +ß , à + − Eß , − F×
ì Una aplicación 0 À Q R de un espacio métrico Q en un espacio métrico R , se
llama una inmersión isométrica cuando
. 0 B ß 0 C œ . Bß C
cualesquiera sean Bß C − Q . Si además, 0es una aplicación de Q sobre R , entonces
se dice que 0 es una isometría de Q sobre R , o una isometría entre Q y R .

ì En un espacio métrico Q ß . se denomina bola abierta con centro α − Q y
radio <  !ß al siguiente subconjunto de Q
U αß < œ ÖB − Q Î. +ß B  œ " .
>
ì Sean 0 ß 1 À Q d funciones reales continuas en un espacio métrico Q Þ La suma
0  1, la diferencia 0  1, y elproducto 0 † 1 son funciones reales continuas en Q .
Además de eso si \ § Q es el conjunto de los puntos B − Q tales que 1 B Á !, el
cociente 0 es una función continua.
1
ì Una aplicación 0 À \ Q" ‚ â ‚ Q8 de un conjunto \ en el producto cartesiano
de los conjuntos Q" ß á ß Q8 equivale a dar 8 aplicaciones
0" À \ Q" ß á ß 08 À \ Q8 tales que 0 B œ 0" B ß á ß 08 B , B − \Þ
Las aplicaciones 03 À \Q3 se llaman las aplicaciones coordenadas de 0 .

4 . Sean

Q ß Q" ß Q# ß á ß Q8 espacios métricos. Una aplicación
0 À Q Q" ‚ Q# ‚ â ‚ Q8 es continua en el punto + − Q si y solamente si, cada
una de las coordenadas 03 À Q Q3 es continua en el punto +.
ì Sean 0 À Q T ß 1 À R U aplicaciones continuas. Entonces, la aplicación
: À Q ‚ R T ‚ U definida por : Bß C œ 0 B ß 1 C es continua.
ìUn HOMEOMORFISMO es una aplicación continua y biunívoca 0 À Q R de un espacio
métrico Q sobre un espacio métrico R , tal que su aplicación inversa 0 " À R Q
también es continua. En este caso, 0 " es un homeomorfismo.
ì La compuesta de homeomorfismos también es un homeomorfismo.
ì Si existe un homeomorfismo de Q sobre R , los espacios Q y R se dicen
homeomorfos.
ì La bola F +ß < de d 8 es...