Matematico
Páginas: 279 (69607 palabras)
Publicado: 24 de octubre de 2012
O
V
AO
TN
SA
UI
GB
U
R
Teor´ de n´meros
ıa
u
[para principiantes]
O
V
AO
TN
SA
UI
GB
U
R
O
V
AO
TN
SA
UI
GB
U
R
Teor´ de n´meros
ıa
u
[para principiantes]
Luis R. Jim´nez B.
e
Jorge E. Gordillo A.
Gustavo N. Rubiano O.
Profesores
Universidad Nacional de Colombia
Facultad de Ciencias
Sede Bogot´
a
O
V
AO
TN
SA
UI
GB
U
R
vi, 284p. : 3 il.
ISBN 958-701-372-7
QA241.
1. Teor´ de n´meros
ıa
u
Luis R. Jim´nez B.,
e
Jorge E. Gordillo A.,
Gustavo N. Rubiano O.
´
´
Teor´ de numeros [para principiantes], 2a. edicion.
ıa
Universidad Nacional de Colombia, Sede Bogot´.
a
Facultad de Ciencias, 2004
Mathematics Subject Classification 2000: 11-01.
c Edici´n en castellano : Luis R. Jim´nez B., Jorge E. Gordillo A.,o
e
Gustavo N. Rubiano O.
Universidad Nacional de Colombia.
Primera impresi´n, 2004
o
Impresi´n:
o
Pro–Offset Editorial Ltda.
Bogot´, D. C.
a
COLOMBIA
O
V
AO
TN
SA
UI
GB
U
R
´
Indice General
Pr´logo
o
1 N´ meros Naturales
u
ix
1
1.1
Axiomas de Peano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.2
Adici´n de n´meros naturales . . . . .. . . . . . . . . . . . .
o
u
2
1.3
Multiplicaci´n de n´meros naturales . . . . . . . . . . . . . .
o
u
5
1.4
Orden entre n´meros naturales . . . . . . . . . . . . . . . . .
u
7
1.5
Construcci´n de los n´meros enteros . . . . . . . . . . . . . .
o
u
10
1.6
Formas equivalentes al principio de inducci´n
o
matem´tica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . .
a
13
2 Divisibilidad
25
2.1
Propiedades b´sicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a
25
2.2
M´ximo Com´n Divisor MCD . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a
u
27
v
vi
´
INDICE GENERAL
O
V
AO
TN
SA
UI
GB
U
R
2.3
Algoritmo de Euclides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
2.4
Propiedades del M´ximoCom´n Divisor . . . . . . . . . . . .
a
u
33
2.5
M´
ınimo Com´n M´ltiplo y generalizaciones . . . . . . . . . .
u
u
39
2.6
Teorema fundamental de la aritm´tica . . . . . . . . . . . . .
e
46
2.7
Algunas propiedades de los n´meros primos . . . . . . . . . .
u
51
2.8
Algunas ecuaciones diof´nticas . . . . . . . . . . . . . . . . .
a
58
3 FuncionesAritm´ticas
e
64
3.1
La funci´n parte entera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o
64
3.2
Las funciones n´mero y suma de divisores . . . . . . . . . . .
u
70
3.3
N´meros perfectos, de Mersenne y de Fermat . . . . . . . . .
u
74
3.4
La funci´n Φ de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o
78
3.5
Funciones multiplicativas....................
86
3.6
La f´rmula de inversi´n de M¨bius . . . . . . . . . . . . . . .
o
o
o
90
4 Congruencias
98
4.1
Definici´n y propiedades b´sicas . . . . . . . . . . . . . . . .
o
a
98
4.2
Criterios de Divisibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
4.3
Aritm´tica m´dulo n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
e
o
4.4
LosTeoremas de Euler y Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . 114
4.5
Congruencias lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
4.6
Ecuaciones Diof´nticas lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
a
4.7
Sistemas de congruencias lineales . . . . . . . . . . . . . . . . 127
4.8
El Teorema chino del residuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
´
INDICEGENERAL
O
V
AO
TN
SA
UI
GB
U
R
4.9
vii
Congruencias de grado superior . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
4.10 Congruencias con m´dulo una potencia de un primo . . . . . 140
o
4.11 Teoremas de Lagrange y Wilson . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
5 Residuos cuadr´ticos
a
153
5.1
Congruencias de segundo grado con m´dulo primo . . . . . . 153
o
5.2
Ley...
V
AO
TN
SA
UI
GB
U
R
Teor´ de n´meros
ıa
u
[para principiantes]
O
V
AO
TN
SA
UI
GB
U
R
O
V
AO
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SA
UI
GB
U
R
Teor´ de n´meros
ıa
u
[para principiantes]
Luis R. Jim´nez B.
e
Jorge E. Gordillo A.
Gustavo N. Rubiano O.
Profesores
Universidad Nacional de Colombia
Facultad de Ciencias
Sede Bogot´
a
O
V
AO
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SA
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GB
U
R
vi, 284p. : 3 il.
ISBN 958-701-372-7
QA241.
1. Teor´ de n´meros
ıa
u
Luis R. Jim´nez B.,
e
Jorge E. Gordillo A.,
Gustavo N. Rubiano O.
´
´
Teor´ de numeros [para principiantes], 2a. edicion.
ıa
Universidad Nacional de Colombia, Sede Bogot´.
a
Facultad de Ciencias, 2004
Mathematics Subject Classification 2000: 11-01.
c Edici´n en castellano : Luis R. Jim´nez B., Jorge E. Gordillo A.,o
e
Gustavo N. Rubiano O.
Universidad Nacional de Colombia.
Primera impresi´n, 2004
o
Impresi´n:
o
Pro–Offset Editorial Ltda.
Bogot´, D. C.
a
COLOMBIA
O
V
AO
TN
SA
UI
GB
U
R
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Indice General
Pr´logo
o
1 N´ meros Naturales
u
ix
1
1.1
Axiomas de Peano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.2
Adici´n de n´meros naturales . . . . .. . . . . . . . . . . . .
o
u
2
1.3
Multiplicaci´n de n´meros naturales . . . . . . . . . . . . . .
o
u
5
1.4
Orden entre n´meros naturales . . . . . . . . . . . . . . . . .
u
7
1.5
Construcci´n de los n´meros enteros . . . . . . . . . . . . . .
o
u
10
1.6
Formas equivalentes al principio de inducci´n
o
matem´tica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . .
a
13
2 Divisibilidad
25
2.1
Propiedades b´sicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a
25
2.2
M´ximo Com´n Divisor MCD . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a
u
27
v
vi
´
INDICE GENERAL
O
V
AO
TN
SA
UI
GB
U
R
2.3
Algoritmo de Euclides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
2.4
Propiedades del M´ximoCom´n Divisor . . . . . . . . . . . .
a
u
33
2.5
M´
ınimo Com´n M´ltiplo y generalizaciones . . . . . . . . . .
u
u
39
2.6
Teorema fundamental de la aritm´tica . . . . . . . . . . . . .
e
46
2.7
Algunas propiedades de los n´meros primos . . . . . . . . . .
u
51
2.8
Algunas ecuaciones diof´nticas . . . . . . . . . . . . . . . . .
a
58
3 FuncionesAritm´ticas
e
64
3.1
La funci´n parte entera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o
64
3.2
Las funciones n´mero y suma de divisores . . . . . . . . . . .
u
70
3.3
N´meros perfectos, de Mersenne y de Fermat . . . . . . . . .
u
74
3.4
La funci´n Φ de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o
78
3.5
Funciones multiplicativas....................
86
3.6
La f´rmula de inversi´n de M¨bius . . . . . . . . . . . . . . .
o
o
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90
4 Congruencias
98
4.1
Definici´n y propiedades b´sicas . . . . . . . . . . . . . . . .
o
a
98
4.2
Criterios de Divisibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
4.3
Aritm´tica m´dulo n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
e
o
4.4
LosTeoremas de Euler y Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . 114
4.5
Congruencias lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
4.6
Ecuaciones Diof´nticas lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
a
4.7
Sistemas de congruencias lineales . . . . . . . . . . . . . . . . 127
4.8
El Teorema chino del residuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
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INDICEGENERAL
O
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AO
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SA
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4.9
vii
Congruencias de grado superior . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
4.10 Congruencias con m´dulo una potencia de un primo . . . . . 140
o
4.11 Teoremas de Lagrange y Wilson . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
5 Residuos cuadr´ticos
a
153
5.1
Congruencias de segundo grado con m´dulo primo . . . . . . 153
o
5.2
Ley...
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