Matematricas

Una aplicaci´n de la transformada de laplace en la soluci´n de o o ecuaciones diferenciales hiperb´licas. o
Yoel A. Monsalve G.*

Resumen En este art´ ıculo se presenta una t´cnica basada en la transformada de Laplace, desarroe llada por el autor, que se puede utilizar para hallar la soluci´n de ecuaciones diferenciales o parciales hiperb´licas relacionadas con los problemas de la F´ o ısicaMatem´tica. Se dar´ una a a presentaci´n de diversas situaciones f´ o ısicas en que aparece el problema matem´tico estudiaa do, los teoremas que constituyen el soporte b´sico de la t´cnica presentada, y la aplicaci´n a e o de esta teor´ en la soluci´n de un problema que se eligi´ como ejemplo: el de determinar ıa o o la diferencia de potencial en una l´ ınea de transmisi´n infinita. Se mostrar´, quela soluci´n o a o matem´tica de tal problema revela los fen´menos de atenuaci´n, distorsi´n y retardo de a o o o propagaci´n. o Palabras clave: Ecuaciones diferenciales / Ecuaciones hiperb´licas / Transformada de o Laplace / Modelo matem´tico / L´ a ınea de transmisi´n. o

Abstract In this article a technique is presented based on the Laplace transformation, developed by the author that you canuse to find the solution of hyperbolic partial differential equations related with the problems of the Mathematical Physics. A presentation of diverse physical situations will be given in that the studied mathematical problem appears, as well as the theorems that constitute the basic support of the presented technique, and the application of this theory in the solution of a problem that was chosenas an example: the one of determining the potencial difference in a infinite transmission line. It will be shown that the mathematical solution of a such problem reveal the phenomenon of attenuation, distortion and retardation of the propagation. Keywords: Keywords: Differential equations / Hyperbolic equations / Laplace transformation / Mathematical model / Transmission line.
Departamento deEstudios Generales. Universidad Nacional Experimental Polit´cnica (UNEXPO) “Antonio e Jos´ de Sucre”. e
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1.

Introducci´n o

Dijo una vez un investigador que la “mayor´ de las ecuaciones diferenciales no pueden ıa” resolverse de forma anal´ ıtica. Aunque esto sea cierto, no desmotiva para intentar ampliar cada vez m´s el conjunto de las ecuaciones resolubles anal´ a ıticamente. Este art´ıculo es una versi´n breve de un trabajo m´s extenso preparado por el autor durante o a varios meses en los a˜os 2005 y 2006, y expuesto oralmente en unas Jornadas Nacionales de n Matem´tica en su pa´ de origen, en 2006 (referencia [5]). a ıs La investigaci´n surgi´ como respuesta a un intento ingenuo del autor de dar soluci´n o o o anal´ ıtica a un problema matem´tico vinculado a la f´ a ısica:Hallar la expresi´n exacta de la tensi´n o o en una l´ ınea de transmisi´n, cuando la tensi´n (o diferencia de potencial) en el extremo emisor o o es una funci´n escal´n unitario (funci´n escal´n unitario de Heaviside). El trabajo matem´tico o o o o a implicado al final tom´ varios meses, complicado por la naturaleza de las transformadas de o Laplace que surgieron. El resultado final fue el desarrollode una teor´ que permite hallar la transformada inversa ıa 2 − a2 )1/2 , o m´s espec´ de Laplace de funciones que involucran (s a ıficamente, funciones del tipo: f s, (s2 − a2 )1/2 e−b(s
2 −a2 )1/2

(1.1)

con a y b como constantes reales (a > 0). Estas expresiones aparecen en las aplicaciones mencionadas en este trabajo, y su inversa desafortunadamente no se encuentra en las tablas detransformadas, m´s all´ de ciertos casos espec´ a a ıficos. Los resultados de esta teor´ son presentaıa dos en este art´ ıculo en la forma de dos teoremas, cuya demostraci´n (extensa) no se desarrolla o aqu´ ı. La aplicaci´n pr´ctica de esto se ve en que existen varios fen´menos f´ o a o ısicos que se pueden modelar mediante ecuaciones diferenciales lineales del tipo: ∂2u ∂2u ∂u = a2 2 + a1 + a0 u, 2...