Matemmaticas 3 prepa abierta

31

PREPARATORIA ABIERTA MÉXICO

MATEMÁTICAS III

Humanidades

31

MATEMÁTICAS III SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES MODULO 1 Ecuación lineal con dos variables

Es el turno ahora de estudiar un tipo de relaciones a las que nos enfrentaremos frecuentemente, tanto en matemáticas como en otras ciencias. Estas relaciones son definidas por medio de igualdades llamadas ecuaciones lineales oecuaciones de primer grado con dos variables que usualmente serán x,y. Definición (Ecuación lineal) Una ecuación lineal o una ecuación de primer grado en x, y es cualquier ecuación equivalente a una de la forma Ax + By + C= 0, en donde A, B, y C son constantes reales tales que A, B no sean ambas cero. Ejemplo 1. 2x – 3y- 12= 0 es una ecuación lineal en donde A= 2, B= -3 y C= -12. Ejemplo 2. 2y - x= 0 es una ecuación lineal en donde A= -1, B= 2 y C= 0. Llamaremos solución de la ecuación lineal a todo par ordenado (x, y) con componentes reales, los cuales al sustituir en las variables de la ecuación, hacen cierta igualdad. Ejemplo 1. (0, -4) es una solución de la ecuación 2x -3y -12= 0, porque al sustituir (0,4) en x, y de la ecuación, se da la igualdad. 2x -3y -12= 0 2(0) -3(-4) -12=00+12-12=0 0=0 Ejemplo 2. (2,1) es una solución de la ecuación 2y –x =0, porque al sustituir (2,1) en x, y de la ecuación, se da la igualdad. 2y -x =0 2(1) -(2)=0 2-2=0 0=0 La gráfica de una ecuación lineal es la gráfica de su conjunto de solución y esta siempre nos representará una línea recta en el plano cartesiano. Como es una recta y una recta queda determinada si se conocen dos de sus puntos,entonces las gráficas de estas ecuaciones las podemos obtener graficando en el plano dos de sus soluciones y trazando después la recta que pasa por esos puntos. Ejemplo. Graficar la ecuación 2x -3y -12= 0 Si x =0 entonces 2x -3y -12= 0 2(0) – 3y -12=0 0 – 3y -12=0 -12= 3y 12 =y
3

-4 = y lo que nos da la solución (0,-4) Preparatoria Abierta México | http://www.preparatoriaabierta.tk 2

31MATEMÁTICAS III

Si y= 0 entonces 2x -3y -12= 0 2x -3(0) -12=0 2x -0-12=0 2x = 12 x = 12
2

x= 6 lo que nos da la solución (6,0) La gráfica de la ecuación 2x -3y -12= 0 es la recta que pasa por los puntos (0,-4) (6,0)

(6,0) (0,-4)

MODULO 2 Pendiente y Ordenada en el Origen, Familias de Rectas Toda ecuación lineal de la forma Ax + By + C= 0 se puede ver también como y = mx + b, donde m es lapendiente y se calcula con m = A y b es la ordenada en el B origen y se obtiene con b = - C
B

Ejemplo. Calcular la pendiente (m) y la ordenada en el origen (b) de la ecuación 6x + 3y + 2=0. Solución. En la ecuación 6x + 3y + 2=0, A =6, B = 3 y C =2, por lo tanto m = A = - 6 = - 2 y b = - C= - 2
B 3 B 3

Ya establecimos que una ecuación lineal y = mx +b representa una recta para valoresfijos de m y b. Consideramos un caso particular: sea b = 1 y dejemos a m en libertad de tomar cualquier valor, la gráfica obtenida es la siguiente: y

X

Preparatoria Abierta México | http://www.preparatoriaabierta.tk 3

31

MATEMÁTICAS III

El conjunto de todas las rectas con la ecuación y = mx +1 se le conoce como una familia de rectas, por que tienen en común la ordenada en el origen b= 1. Supongamos ahora que mantenemos fijo el valor m y dejemos que b sea variable; determinamos así la otra familia de rectas, en la cual todas tienen la misma pendiente, y por tanto son paralelas; así y = 2x +b representa la siguiente familia de rectas: Y

X

MODULO 3 Sistema de ecuaciones 2x2 Sabemos que una ecuación de la forma Ax + By + C= 0 tiene un número infinito de soluciones. En estemodulo nos corresponde analizar el conjunto solución para un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas de la forma: A1x+B1y+C1=0 A2x+B2y+C2=0 Lo que buscamos son los pares ordenados (x, y) que satisfagan simultáneamente ambas ecuaciones. Como ya sabemos la gráfica de toda ecuación lineal es una línea recta, así que se pueden presentar tres casos diferentes cuando tenemos dos ecuaciones...