matemática discreta

1. ¿De cuántas formas es posible distribuir 10 monedas (idénticas) entre 5 niños, si:
a) No hay restricciones.
b) Cada niño recibe al menos una moneda.
c) El niño mayor recibe al menos 2 monedas2. Halle el número de soluciones enteras no negativas de x1 + x2 + x3 + x4 = 32, donde.
a) x1 ; x2  5 x3 ; x4  7
b) x1 ; x2 ; x3 > 0 ; 0 < x4 < 25
3. Encuentre el número de formas en quese puede
a) escribir 17 como una suma de unos y de dos si el orden es significativo
b) Responda la parte (a) para 18 en vez de 17.
c) Generalice los resultados de las partes (a) y (b) para n impary para n par.
4. Determine el número de trayectorias del plano XY para:
a) Ir desde (3,2) hasta (8,6) sin restricciones.
b) Ir desde (3,2) hasta (8,6) pasando obligatoriamente por algún punto deleje X.
5. Halle el número de trayectorias del espacio euclídeo tridimensional que hay:
a) Desde (–1, 2, 0 ) a (1, 3, 7) si cada movimiento es de uno de los siguientes tipos:
(H):(x,y,z) (x+1,y,z) (V):(x,y,z)  (x,y+1,z) (A):(x,y,z)  (x,y,z+1)
b) ¿Cuántas de éstas trayectorias existen de ( –1, 0, 5 ) a (8, 1, 7)?
c) Generalice los resultados de las partes (a) y (b)
6. Para n, sedefine la suma Sn mediante la fórmula.
a) Verifique S1 = 1/2; S2 = 5/6 y S3 = 23/24
b) Calcule S4; S5 y S6.
c) Con base en los resultados (a) y (b) conjeture una fórmula general para la sumade los términos de Sn.
7. Para cualquier n, n  0 demuestre que:
a) es divisible entre 3
b) n3 + (n+1)3 + (n+2)3 es divisible entre 9.
c) es un entero.
8. Para n  0, sea Fn el n-ésimonúmero de Fibonacci demuestre que
a) F0 + F1 + F2 + ... + Fn = = Fn+2 –1.
b) n,
c) n,
9. Sean L0, L1, L2,... los números de Lucas, donde: (1) L0 =2; L1 = 1 y (2) Ln+2 = Ln+1 + Ln para n 0.
a) Si n  1 Demuestre que
b) Si n. Demuestre que
10. Resuelva las relaciones de recurrencia por el método de la función generatriz:
a) an+1 – an = 3n, n  0, a0 = 1
b) an+1 – an...