Matemática en la Música I

CAPÍTULO II
Matemática en la Música I*
Es común escuchar que “hay Matemática en la Música porque
cuando se abre una partitura ésta está llena de numeritos”, es decir,
de los números del compás y las digitaciones. Obviamente esta
observación es muy simple. Se dice que hay Matemática en la
Música, que la Música y la Matemática están muy relacionadas.
Pero ¿hay Matemática en la Música? ¿Estánrelacionadas? ¿Qué
relación existe entre la Música y la Matemática? Deseo exponerles
algunas reflexiones acerca de esta pregunta e ilustrarlas con
algunos ejemplos acerca de lo que algunos artistas o científicos
han hecho al respecto durante la historia de la Humanidad.
Leibniz describe a la Música como "un ejercicio inconsciente en la
Aritmética". Esta afirmación quizás se podríajustificar sobre la
base de que el músico intérprete cuenta los tiempos del compás
cuando comienza a estudiar una obra pero después de un tiempo
de tocarla, ya no está contando conscientemente sino que deja fluir
la magia de la Música. Sin embargo casi todos los "elementos
externos" de la Música se definen numéricamente: 12 notas por
octava; compás de 3/4, 7/8,...; 5 líneas en el pentagrama; ndecibeles; semitono de raíz duodécima de dos; altura de 440 hz; lo
horizontal y lo vertical en la textura musical; arriba y abajo en la
escala; etc.
En la Edad Media la Música estaba agrupada con la Aritmética, la
Geometría y la Astronomía en el Cuadrivio. La Música no se
consideraba un arte en el sentido moderno sino una ciencia aliada
con la Matemática y la Física (la Acústica). Matemáticas unpoco
más elevadas se utilizaron en el cálculo de intervalos, el cual
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Una versión previa a ésta apareció bajo el título ¿Matemáticas en la Música?
Miscelánea Matemática. Núm.27. Soc. Mat. Mex. (1999) pp. 15-27.
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requería el uso de logaritmos, y los problemas del temperamento
requerían del uso de fracciones continuas.
Es prácticamente desconocida la aplicación de algunos conceptosmatemáticos a otros aspectos de la Música como son el análisis,
los aspectos estéticos, la composición y la Teoría Matemática de la
Música. A continuación veamos cómo algunos matemáticos y
músicos han aplicado conceptos matemáticos en la Música.

W. A. Mozart
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Mozart, en 1777, a los escasos 21 años de edad, escribió un "Juego
de Dados Musical K. 294 (Anh. C) para escribir valses conla
ayuda de dos dados sin ser músico ni saber nada de composición".

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Escribió 176 compases adecuadamente (aquí vemos los primeros
cuarenta) y los puso en dos tablas de 88 elementos cada una.

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El juego comienza lanzando los dos dados, de tal manera que
tenemos 11 números posibles (del 2 al 12) y hacemos 8 tiradas
obteniendo distintos compases excepto los de la última columnaque son iguales (éstos últimos con dos posibilidades: una para la
repetición y otra para continuar con la segunda tabla. La segunda
tabla es igual a la primera excepto que tiene otros 88 compases con
los de la última columna idénticos. Así, mediante un simple
cálculo, utilizando conceptos del Álgebra Superior, se tienen 1114
valses diferentes, es decir, aproximadamente 3.797498335832
(1014)valses diferentes. Si se toca cada vals, con repetición de la
primera parte, en 30 segundos, se requerirían de 30(1114)
segundos, es decir, 131,857,581,105 días aproximadamente, o
bien, 361,253,646 años aproximadamente en tocarlos todos uno
tras de otro ininterrumpidamente. Es decir, un estreno mundial de
una obra de Mozart cada 30 segundos a lo largo de ¡361 millones
de años! (Recuérdese quela antigua edad de piedra comenzó hace
unos 35,000 años). Mozart era un aficionado a la matemática y su
enorme talento se mostró una vez más. Con este jueguito tan
sencillo ¡dejó la imposibilidad de que intérprete alguno pudiera
tocar su obra completa o de que alguna compañía de discos la
grabara!
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Véase http://www.lim.dico.unimi.it/eventi/ctama/baggi.htm para
una explicación del...