Matemática General

CAPÍTULO 1: NÚMEROS REALES



1.-INTRODUCCION.-

Sean a, b, c y d números reales cualesquiera estos verifican las siguientes


1.1.-PROPIEDADES.-


1.1.1.-propiedad de cierre
(! c ( ( ( a + b = c, (! d ( ( ( a.b = d

1.1.2.- propiedad conmutativa
a + b = b + a ; a.b = b.a

1.1.3.- propiedad asociativa
a + b + c = (a + b) + c = a + (b + c) ; a.b.c = (a.b).c = a.(b.c)1.1.4.-existencia de elemento neutro
( 0 ( ( tal que a + 0 = 0 + a = a ; ( 1 ( ( tal que a.1 = 1.a = a

1.1.5.- propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la suma
a.( b + c ) = a.b + a.c

1.1.6.- existencia de elemento inverso
dado a ( (-a) tal que a + (-a) = 0 ; dado a(0 ( a-1 tal que a.a-1 = 1
nota: al elemento inverso de la suma se le llama opuesto y al de lamultiplicación recíproco.

Definición.- A la suma de un número mas el opuesto de otro le llamaremos resta, en símbolos
a + (-b) = a – b
Definición.- A la multiplicación de un número por el recíproco de otro le llamaremos división, en símbolos
a.b-1 = a/b = [pic], b ( (
Teorema 1.-

Si a + b = a + c ( b = c

Demostración.-

a + b = a + c ( (*) –a + (a + b) = -a + (a + c) = (**) (-a + a) +b = (-a + a) + c ( (***) 0 + b = 0 + c ( (****) b = c
• * por propiedad 1.1.6
• ** por propiedad 1.1.3
• *** por propiedad 1.1.6
• **** por propiedad 1.1.4

Teorema 2.-

0.a = a.0 = 0

Demostración.-

[pic]

1.2.- ORDEN EN (.-
Definición.- Introduciremos el símbolo “>” que se lee “mayor que” y diremos que a es mayor que b si y solo si a menos b es mayor que cero,en símbolos

|a > b ( a – b > 0 |


Definición.- Si a es mayor que b, significa que b es menor que a en símbolos

a > b ( b < a
Además
a ( b ( a > b ( a = b
a ( b ( a ( b ( a ( b
Propiedades.-
1.2.1.- propiedad de tricotomía.- sean a y b números reales se cumple una y solo una de las siguientes relaciones.
a = b, a < b ( a > b
1.2.2.-propiedadtransitiva.- Si a < b ( b < c ( a < c

1.2.3.- Si a < b ( a + c < b + c ( a, b, c ( (

1.2.4.- Si a < b ( c > 0 ( a.c < b.c

1.2.5.- Si a < b ( c < 0 ( a.c > b.c

1.2.6.- Si a < c ( b < d ( a + b < c + d

1.2.7.- Si 0 < a < b ( [pic]

1.3.-VALOR ABSOLUTO.-
Definición.- Sea x un número Real, se dice que el valor absoluto de x, en símbolos (x( es el mismo x sí x es mayor o igual a cero, y es elopuesto a x sí x en menor que cero. En símbolos.
[pic]
Ejemplo.-
(3( = 3, (-5( = 5

Para todo x e y Reales valen las siguientes
Propiedades.-

1.3.1.- (x( ( 0

1.3.2.- (x( ( ( ( x ( (

1.3.3.- (x( ( (-x(

1.3.4.- (x.y( = (x(.(y(

1.3.5.- [pic]

1.3.6.- [pic]

1.3.7.--(x( ( x ( (x(

1.3.8.- (x + y( ( (x( + (y( (desigualdad triangular)

1.3.9.- [pic]

1.3.10.- [pic]
Demostraciones.-

1.3.1.- Si x ( 0 ( (x( ( x ( 0 por definición de valor absoluto.
Si x < 0 ( (x( = -x, si x < 0 ( -x > 0, ((x( ( 0

1.3.2.- Obvia, por definición de valor absoluto.

1.3.3.- Si x ( 0 ( (x( = x(*)
Si x ( 0 ( -x ( 0, ((-x( = -(-x) = x (**)
( [pic], la demostración para x < 0 queda como ejercicio para el lector.

1.3.4.- Esta demostración consta de partes cuatro partes, a saber:
• Si al menos uno es igual a cero.
• Si son ambos mayores que cero.
• Si uno en mayor que cero y el otro menor que cero.
• Si ambos son menores que cero.


Si almenos uno es igual a cero, por ejemplo x = 0, tenemos
x.y = 0 ( (x.y( = (0( = 0 (*)
además (x( = (0( = 0 ( (x(.(y( = 0.(y( = 0 (**)
Por lo tanto [pic]
Si ambos son mayores que cero, x >0, y >0 ( x.y > 0 ( (x.y( = x.y (*)
Además [pic]
Luego [pic]

Si uno es mayor que cero y el otro es menor que cero, por ej. x < 0, y > 0 ( x.y < 0 ( (x.y( = -(x.y) (*)
Además [pic]
Luego...