matemática potencia de una potencia

Definición[editar]
Se llama potencia a una expresión de la forma a^n, donde a es la base y n es el exponente. Su definición varía según el conjunto numérico al que pertenezca el exponente.

Exponente entero[editar]
Cuando el exponente es un número natural n, este indica las veces que aparece a multiplicando por sí mismo, siendo a un número cualquiera:

(1)\begin{array}{ll}
a^1 = & a \\a^2 = & a \times a \\
\vdots & \vdots \\
a^n = & \underbrace{a \times \cdots \times a}_{n \text{ veces}},
\end{array}

Esta definición puede aplicarse, tanto a números reales o complejos, así como a otras estructuras algebraicas más abstractas, como pueden ser, por ejemplo, matrices cuadradas.

Multiplicación de potencias de igual base[editar]
El producto de dos potencias que tienen lamisma base es igual a una potencia de dicha base que tiene como exponente la suma de los exponentes, es decir:

[Expandir] a^n \cdot a^m = a^{n+m}
Ejemplos:

9^3 \cdot 9^2 = 9^{3+2}= 9^5
Potencia de una potencia[editar]
La potencia de una potencia de base a es igual a la potencia de base a y cuyo exponente es el producto de ambos exponentes (la misma base y se multiplican los exponentes):[Expandir] {(a^m)}^n = a^{m \cdot n}
Debido a esto, la notación a^{b^c} se reserva para significar a^{(b^c)} ya que {(a^b)}^c se puede escribir sencillamente como a^{bc}\,.

Potencia de un producto[editar]
La potencia de un producto es igual al producto de cada uno de los factores elevado al mismo exponente, es decir:

[Expandir](a \cdot b)^n=a^n \cdot b^n
Si la base a tiene inversoaditivo, indicado mediante signo negativo -a, entonces se tiene la regla:

[Expandir](-a)^n =\;\;\;\;\; a^n si n es par.
(-a)^n = -( a^n) si n es impar.

Si la base a tiene inverso multiplicativo c, es decir c·a = 1 o que c=\frac{1}{a}, entonces este se denota por a^{-1}, y el exponente se puede ampliar a todos los números enteros:

(2)\begin{array}{l}a^{-1} = \frac{1}{a} \\
a^{-n} =\frac{1}{a^n}\end{array}

Observación
a^{-n} = ( a^{-1} )^n = \underbrace{ \frac{1}{a} \times \cdots \times \frac{1}{a}}_n = \frac{1}{\underbrace{a \times \cdots \times a}_n} = \frac{1}{a^n}.
División de potencias de igual base[editar]
El cociente de dos potencias con la misma base es igual a una potencia de dicha base con un exponente igual a la diferencia del exponente del dividendo menos eldel divisor ,1 esto es:

[Expandir] \frac{a^m}{a^n} = a^{m - n}
Ejemplo:

\frac{9^5}{9^3} = 9^{5-3}= 9^2
Potencia de exponente 0[editar]
Un número distinto de 0 elevado al exponente 0 da como resultado la unidad (1), puesto que:2 3

1 = \frac {a^n} {a^n} = a^{n-n} =
a^0\,
El caso particular de 0^0\,, en principio, no está definido [cita requerida] (ver cero).

Potencia de uncociente[editar]
La potencia de un cociente es igual al cociente de cada uno de los números elevado al mismo exponente.

[Expandir] \left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}
Si la base a = 0, entonces a no tiene inverso multiplicativo a^{-1}, por lo que sólo se presentan exponentes de números naturales por (1) quedando así prohibida la notación (2) como valor numérico:

0^1=0
0^n=\underbrace{0 \times \cdots \times 0}_n = 0.
Exponente racional[editar]
Artículo principal: Radicación
La potenciación con exponente racional viene de la necesidad de resolver una ecuación del tipo x^n= a , de manera que x = \sqrt[n]{a} , pero se ha de garantizar que dicha x sea un número real y esto sólo se puede garantizar para toda n si la base a es un número real positivo, por lo que existe unteorema que dice:

Dado un número real positivo a, este tiene una única raíz n-ésima positiva.

Para notar la raíz se define el uso de fracciones en el exponente:

(3)a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a}

Observación
\left( a^{\frac{1}{n}} \right)^n = a^{\frac{1}{n} \cdot n } = a^1 = a.
En general para las fracciones se define que:

(4) \begin{array}{ll}
a^{\frac{n}{m}} & = \sqrt[m]{a^n} \\...