Matemática universitaria

Departamento de Física Teórica II

Ecuaciones Diferenciales II
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u(t, x)

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x
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t

Manuel Mañas Baena y Luis Martínez Alonso

Índice general

1. Introducción a las ecuaciones en derivadas parciales
1.1. Definición de EDP. EDP lineales . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1. Aspectos generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2. EDP relevantes enla Física . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.3. Cambio de variables independientes . . . . . . . . .
1.2. Condiciones de contorno o frontera. Condiciones iniciales
1.2.1. Dominios. Fronteras . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2. Condiciones de contorno . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.3. Condiciones iniciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.4. Funciones diferenciables .. . . . . . . . . . . . . . . .
1.3. Existencia local de soluciones de EDP . . . . . . . . . . . . .
1.3.1. Planteamiento del problema . . . . . . . . . . . . . .
Funciones analíticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2. El teorema de Cauchy-Kovalevskaya . . . . . . . . . .
1.4. Problemas de Cauchy. Hipersuperficies características . .
1.4.1. Planteamiento del problema . . . . . . .. . . . . . .
1.4.2. Curvas características para EDP de primer orden . .
1.4.3. Curvas características para EDP de segundo orden
1.5. Solución general. Método de la solución completa . . . . .
1.5.1. Método de la solución completa para ecuaciones de
1.5.2. El método de la hodógrafa . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6. Operadores diferenciales. Problemas lineales . . . . . . . .
1.6.1.Operadores diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6.2. Operadores de frontera y de condiciones iniciales .
1.6.3. Problemas lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6.4. Características . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7. Cuestiones, problemas y ejercicios . . . . . . . . . . . . . . .
1.7.1. Cuestiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7.2.Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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primer orden
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2. Teoría espectral de operadores diferenciales. Análisis de Fourier
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2.1. Producto escalar en espacios funcionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.1.1. Producto escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
i

ii

ÍNDICE GENERAL
2.1.2. Cambios decoordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2. Conjuntos ortogonales de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1. Desarrollos en serie de funciones ortogonales . . . . . .
2.2.2. Conjuntos ortogonales completos . . . . . . . . . . . . . .
2.3. Operadores diferenciales simétricos . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4. Autovalores y autofunciones. Operadores simétricos . . . . . .2.4.1. Problemas de autovalores . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.2. Autovalores y autofunciones de operadores simétricos .
2.5. Operadores de Sturm–Liouville en una dimensión . . . . . . . .
2.5.1. Caso regular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Carácter simétrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Espectro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....