Matemática i

Universidad Cesar Vallejo
Escuelas de Ingeniería Industrial y Sistemas
Docentes de Matemática I y II Lord Barrera Bocanegra Juan Contreras Matos Elvia Perez Barturen Elbert Perez Diaz Antenor Leva Apaza Arturo Davila Obando Francisco Quiroz García Carlos Deudor Gomez Biviano Miramira Tipula Juvenal Tordocillo Puchuc

Magister Lord Barrera:

Coordinador del área de Matemática

La Regla dela Cadena

Escuelas de Ingeniería Industrial Ingeniería de Sistemas Ingeniería Empresarial

1.

La Regla de la Cadena

1.1. Motivación y Definición

Consideremos la siguiente situación: el costo de fabricación en una empresa depende del número de unidades producidas, esta cantidad depende a su vez de la cantidad de horas que se emplea en la empresa. Si C, q y t denotan el costo, lacantidad producida y el tiempo, respectivamente, entonces

[ ] dC razón de cambio del costo = con respecto a la cantidad dq y

(soles por unidad)

[ ] dq razón de cambio de la cantidad = con respecto al tiempo dt

(unidades por hora)

El producto de estas dos razones es la razón de cambio del costo con respecto al tiempo, es decir, dC dq dC = dt dq dt (soles por unidad)

Esta fórmula es uncaso especial del siguiente resultado importante:

Teorema 1.1. (Regla de la cadena). La derivada de la composición h = g ◦ f , definida por h( x ) = g[ f ( x )], es h′ ( x ) = g′ [ f ( x )] f ′ ( x ) También, si escribimos u = f ( x ) e y = g(u) = g[ f ( x )], entonces dy du dy = dx du dx

I MPORTANTE : una manera de recordar la regla de la cadena es notando dy du que las derivadas y soncocientes, de esta forma se debe cancelar du dx du; esto es

dy dy du = dx du dx

Para ilustrar la regla de la cadena, supongamos que queremos derivar la función y = (2x + 1)2 . Nuestra intuición nos puede apresurar a decir que ] dy d[ = (2x + 1)2 = 2(2x + 1) = 4x + 2 dx dx Pero este cálculo ¡no es correcto! ya que del desarrollo y = (2x + 1)2 = 4x2 + 4x + 1, tenemos ] ] dy d[ d[ 2 = (2x + 1)2 =4x + 4x + 1 = 8x + 4 dx dx dx (1.2) (1.1)

y vemos en las relaciones (1.1) y (1.2) que los resultados son distintos. Sin embargo, podemos escribir y = (2x + 1)2 como y = u2 , donde u = 2x + 1, entonces dy d 2 = (u ) = 2u du du y la regla de la cadena dice que dy dy du = = (2u)2 = (4x + 2)(2) = 8x + 4 dx du dx Por tanto, el resultado en (1.3) coincide con el resultado en (1.2). (1.3) y du d = (2x+ 1) = 2 dx dx

2

Ejemplo 1.1.

Hallar

dy , donde y = (5x + 2)2 + 5x + 2. dx

Solución. Notemos que y = u2 + u, donde u = 5x + 2. Así que dy = 2u + 1 du Luego dy du dy = = (2u + 1)5 = 5[2(5x + 2) + 1] = 50x + 25 . dx du dx y du =5 dx

Ejemplo 1.2.

El costo de producir x unidades de un producto es C(x) =

1 2 x + 4x + 53 soles 3 y la cantidad producida luego de t horas detrabajo de elaborar dicho producto es x (t) = 0.2t2 + 0.03t unidades. De que manera varía el costo con respecto al tiempo luego de 4 horas? Solución. Tenemos que 2 dC dx = x+4 = 0.4t + 0.03, y 3 dx dt de acuerdo a la regla de la cadena tenemos ( ) dC dC dx 2 = = x + 4 (0.4t + 0.03). 3 dt dx dt Cuando t = 4, el nivel de producción es x (4) = 0.2(4)2 + 0.03(4) = 3.32 unidades dC y sustituyendo t = 4 y x= 3.32 en la fórmula , tenemos dt [ ] [ ] 2 dC = (3.32) + 4 0.4(4) + 0.03 = 10.1277 3 dt t=4 Así que, despues de 4 horas, el costo se incrementa en aproximadamente 10.13 soles/hora. 3

Observación 1.1. Algunas veces cuando tratamos con funciones compuestas y = g( f ( x )), podemos pensar de g como la “función externa” y de f como la “función interna” como se indica

función externa

y = g[f(x)[
función interna
Entonces la regla de la cadena h′ ( x ) = g′ [ f ( x )] f ′ ( x ) se lee: la derivada de h( x ) = g( f ( x )) con respecto a x es la derivada de la función externa evaluada en la función interna, multiplicada con la derivada de la función interna. Ejemplo 1.3. Derivar la siguiente función f ( x ) = √ x2 + 5x.

Solución. La forma de la función es f ( x ) = ( )1/2 donde...