Matemática

UNQ - Departamento de Ciencia y Tecnología
ANÁLISIS MATEMÁTICO I
2013
Derivación implícita. Teorema de Rolle. Teorema del valor medio para
Práctico derivadas (Cauchy y Lagrange). Crecimiento y decrecimiento de
funciones. Máximos y mínimos absolutos y relativos. Concavidad y
Nº4
puntos de inflexión.
Guía teórica
Derivación implícita
Hasta ahora se han derivado funciones donde la variabley está expresada
explícitamente en función de x, es decir expresiones del tipo y = f(x).
Cuando y no está expresada explícitamente en función de x, como por ejemplo en la
ecuación x3 + y5 - 27y - 5 = 0, podemos suponer que es posible despejar y como
función de x, es decir suponer que existe y = f(x) tal que x3 + f(x)5 - 27 f(x) – 5 = 0, en
este caso se dice que la ecuación x3 + y5 - 27y - 5= 0 define implícitamente a y = f(x)
Para encontrar la derivada de y = f(x) (que no podemos explicitar porque no se puede
despejar) usamos un método, denominado derivación implícita, que consiste en:
x3 + f(x)5 - 27 f(x) - 5 = 0

1- derivar respecto de x la expresión

3 x2 + 5 f(x)4 f ’(x) - 27 f ’(x) = 0

obteniendo :
2- despejar f ’(x) : f ’(x) =

− 3x 2
5 f ( x ) 4 − 27

(*) oequivalentemente y’ =

− 3x 2
5y 4 − 27

Si se quiere conocer la pendiente de la recta tangente en el punto de coordenadas (3, 2)
perteneciente a la gráfica de la ecuación x3 + y5 - 27 y - 5 = 0 , se reemplaza x = 3 y
− 3. 3 2
− 27
f(3) = 2 en (*) obteniendo f ’(3) =
=
4
53
5 .2 − 27
Luego -27/53 es el valor de la pendiente de la recta tangente en el punto (3, 2).
Es interesanteobservar que en la propuesta anterior se siguieron los siguientes pasos:
1)derivar implícitamente, 2) despejar la derivada, 3)reemplazar x y f(x) por las
coordenadas del punto
Muchas veces es conveniente invertir los últimos dos pasos, procediendo así:
1) derivar implícitamente:

3 x2 + 5 f(x)4 f ’(x) - 27 f ’(x) = 0

2) reemplazar x = 3 y f(3) = 2:

3 32 + 5 24 f ’(3) - 27 f ’(3) = 0
27 +80 f ’(3) - 27 f ’(3) = 0

3) despejar f’(3):

f ’(3) = - 27 / 53

Teorema de Rolle (1652-1719)
Si f es continua en el intervalo cerrado [a,b] , derivable en el intervalo abierto (a,b)
y f(a) = f(b) entonces existe al menos un número c en (a,b) tal que f ’(c) = 0

Baragatti-Blondheim-Pellet

34

Las funciones que se observan en estas dos gráficas
verifican las hipótesis del T. deRolle : f(a) = f(b) , f
es continua en [a,b] y derivable en (a,b) por lo tanto
existe al menos un número c entre a y b tal f’(c) = 0
y

a

y

c1

b

x

a

c1

El gráfico muestra que f(a)
= f(b) y f es continua en
[a,b] pero f no es derivable
en x0, por lo tanto no puede
aplicarse el T. de Rolle
y

c2

c3

b

x

a

x0

b

x

En el punto de abscisa En lospuntos de abscisa c1, No existen puntos donde la
c1 la recta tangente es c2 y c3 , la recta tangente es
recta tangente es
horizontal, por lo
horizontal, por lo tanto
horizontal, de donde
tanto f’(c1) = 0
f’(c1) = 0, f’(c2) = 0, f’(c3) = 0
f’(x) ≠ 0
Teorema del valor medio de Cauchy (1789- 1867)
Si f y g son continuas en el intervalo cerrado [a,b] y derivables en el abierto (a,b)
f (b ) − f(a ) ´f ' (c)
entonces existe un número c en (a,b) tal que:
si g(b) ≠ g(a)
=
g ( b ) − g ( a ) g' ( c )
Teorema del valor medio para derivadas o T. de Lagrange (1736- 1813)
Si f es continua en el intervalo cerrado [a,b] y derivable en el intervalo abierto (a,b)

entonces existe un número c en (a,b) tal que:

f ' (c ) =

f (b ) − f (a )
b−a

f (b ) − f (a )
es la pendiente de larecta que pasa por y
b−a
P(a,f(a)) y Q(b,f(b)), el teorema afirma que “existe al
menos un número c en (a,b) tal que la pendiente de la
recta tangente trazada en el punto (c,f(c)) es igual a la
pendiente de la recta que pasa por los puntos P y Q”

Q

Como

P
a

c

b

x

Funciones crecientes o decrecientes
Una función f es creciente en un intervalo I si para todo par de puntos x1...